【５】フェルマー素数

　２2^m＋１の形の素数をフェルマー素数といいます．フェルマー素数はガウスによって１世紀にわたる眠りから覚まされ，数論と幾何学に新たな美しさを吹き込んだことになります．フェルマーはこの型の数がすべて素数だと勘違いしていて必ず素数を与える式として考え出されたのですが，ｍ＝５のときは素数ではなく，合成数となります．

２^(2^5)(＋１＝４２９４９６７２９７＝６４１×６７００４１７　　

現在，ｍ＝０，１，２，３，４の５個以外にフェルマー素数はみつかっていません．６番目のフェルマー素数の探索がコンピュータを使ってなされていますが，はたして本当に存在するのでしょうか．

正ｎ角形の作図において，ｎは異なるフェルマー素数か２のベキ乗との積

　　ｎ＝２^kΠＦm

でなければなりません．したがって，

［１］ｎ＝２，３，４，５，６，８，１０，１２，１５，１６，１７，２０，２４，３０　→　作図可能

［２］ｎ＝７，９，１１，１３，１４，１８，１９，２１，２２，２３，２５　→　作図不可能

となって，正5０角形は作図することはできませんが，正５１角形は作図できるのです．幾何学的に解ける正奇数角形は，２^5−１＝３１通り，最小３角形から，最大

　　３・５・１７・２５７・６５５３７＝４２９４９６７２９５

角形まであります．

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