【１】原始根

ｎを奇素数とする，ｎで割り切れない任意の数ａに対し，

　　ａ，ａ^2，ａ^3，・・・，ａ^n-1　　（ｍｏｄｎ）

を作る．このとき，常に

　　ａ^n-1＝１　　（ｍｏｄｎ）

が成立するが，ａのベキの次数がｎ−１に到達する以前に，小さな次数ｋに対して　

　　ａ^k＝１　　（ｍｏｄｎ）

が成立することがある．

　逆に，ｎ−１で初めて

　　ａ^n-1＝１　　（ｍｏｄｎ）

が起こることもあり，そのような数ａを法ｎに関する原始根とよぶ．すなわち，原始根の周期はｎ−１といえるのである．どのような奇素数ｎに対しても法ｎに関する原始根は存在する（ガウス）．

　ｎ＝５，ａ＝２の場合を調べてみると

　　２^1＝２，２^2＝４，２^3＝３，２^4＝１

→２は法５に関する原始根である．ord5(2)=4

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z^5-1=(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)

z^4+z^3+z^2+z+1=0

となる4つのｚの値を求めたい。

５の原始根は２である。2，4，3，1の項の順番にしたがって、

z+z^2+z^3+z^4=r1+r2=-1

r1=z^2+z^3, r2=z^4+z^1

とベキ指数を結合する。このとき、

r1・r2=z^6+z^3+z^7+z^4=z^1+z^3+z^2+z^4=-1

r1+r2=-1より、

r1=-g,r2=1/g

z+z^2+z^3+z^4=r1+r2=1/g-g=-1

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n=17の場合は、ガウスが17の原始根をつかって、そして17-1＝16が2のベキであることを使って初めて解いた。

z^17-1=(z-1)(z^16+z^15+・・・+z+1)

コラム「指数合同式（その２）」

３^0＝１、３^1＝３，３^2＝９，３^3＝１０，３^4＝１３，

３^5＝５，３^6＝１５，３^7＝１１，３^8＝１６，

３^9＝１４，３^10＝８，３^11＝７，３^12＝４，

３^13＝１２，３^14＝２，３^15＝６，３^16＝１

であるから、ｍ＝17，ｇ＝3に対し

ind3(1)=0,ind3(2)=14,ind3(3)=1,ind3(4)=12

ind3(5)=5,ind3(6)=15,ind3(7)=11,ind3(8)=10

ind3(9)=2,ind3(10)=3,ind3(11)=7,ind3(12)=13

ind3(13)=4,ind3(14)=9,ind3(15)=6,ind3(16)=8

→３は法１７に関する原始根である．

項の順番にしたがって、２群に分けると

z^3+z^10+z^5+z^11+z^14+z^7+z^12+z^6=z^3+z^-7+z^5+z^-6+z^-3+z^7+z^-5+z^6

z^9+z^13+z^15+z^16+z^8+z^4+z^2+z^1=z^-8+z^-4+z^-2+z^-1+z^8+z^4+z^2+z^1

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コラム「原始根と原始根予想（その９）」

　ｎ＝１７，ａ＝１０の場合を調べてみると

１０^1＝１０，１０^2＝１５，１０^3＝１４，１０^4＝４，

１０^5＝６，１０^6＝９，１０^7＝５，１０^8＝１６，

１０^9＝７，１０^10＝２，１０^11＝３，１０^12＝１３，

１０^13＝１１，１０^14＝８，１０^15＝１２，１０^16＝１

→１０は法１７に関する原始根である．ord17(10)=16

項の順番にしたがって、２群に分けると

z^10+z^14+z^6+z^5+z^7+z^3+z^11+z^12=z^-7+z^-3+z^6+z^5+z^7+z^3+z^-6+z^-5

z^15+z^4+z^9+z^16+z^2+z^13+z^8+z^1=z^-2+z^4+z^-8+z^-1+z^2+z^-4+z^8+z^1

どちらも同じ結果となった。

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a=z^3+z^10+z^5+z^11+z^14+z^7+z^12+z^6=z^3+z^-7+z^5+z^-6+z^-3+z^7+z^-5+z^6

b=z^9+z^13+z^15+z^16+z^8+z^4+z^2+z^1=z^-8+z^-4+z^-2+z^-1+z^8+z^4+z^2+z^1

a+b=-1はよいとして、ab=-4となることを確認してみたい。

b=z^1+z^2+z^4+z^8+z^9+z^13+z^15+z^16

a=z^3+z^5+z^6+z^7+z^10+z^11+z^12+z^14

ab=z^4+z^5+z^7+z^11+z^12+z^16+z^1+z^2

z^6+z^7+z^9+z^13+z^14+z^1+z^3+z^4

z^7+z^8+z^10+z^14+z^15+z^2+z^4+z^5

z^8+z^9+z^11+z^15+z^16+z^3+z^5+z^6

z^11+z^12+z^14+z^1+z^2+z^6+z^8+z^9

z^12+z^13+z^15+z^2+z^3+z^7+z^9+z^10

z^13+z^14+z^16+z^3+z^4+z^8+z^10+z^11

z^15+z^16+z^1+z^5+z^6+z^10+z^12+z^13=-4

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