■正17角形と正18角形(その25)

[1]ステップ1

  ζ=cos(2π/17)+isin(2π/17)

とおくと,ζはx^17−1=0の根,x^16+x^15+・・・・+x+1=0の根である.ζ^k ( 1≦k≦16)もx^16+x^15+・・・・+x+1=0の根であり,

 ζ^16+ζ^15+・・・・+ζ+1=0

  ζ^8+ζ^7+・・・・+ζ^-7+ζ^-8=0

 ここで,

  w=ζ+ζ^2+ζ^4+ζ^8+ζ^-1+ζ^-2+ζ^-4+ζ^-8

  w’=ζ^3+ζ^5+ζ^6+ζ^7+ζ^-3+ζ^-5+ζ^-6+ζ^-7

とおく.

  ζ^16+ζ^15+・・・・+ζ=w+w’=−1

  w=(ζ+ζ^-1)+(ζ^8+ζ^-8)+(ζ^4+ζ^-4)+(ζ^2+ζ^-2)=2(cos(2π/17)+cos(16π/17)+cos(8π/17)+cos(4π/17))>0

 また,直接の計算により,ww’=−4となるから,wはx^2+x−4=0の根.

  w=(√17−1)/2=1.56155

  w’=(−√17−1)/2

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[2]ステップ2

  z=ζ+ζ^4+ζ^-1+ζ^-4=2(cos(2π/17)+cos(8π/17))>0

  z’=w−z=ζ^2+ζ^8+ζ^-2+ζ^-8

  ξ=ζ^3+ζ^5+ζ^-3+ζ^-5=2(cos(6π/17)+cos(10π/17))>0

  ξ’=w’−ξ=ζ^-7+ζ^-6+ζ^6+ζ^7

とおくと,直接の計算により,zz’=−−1,ξξ’=−1となるから,z,z’はx^2−wx−1=0の根.ξ,ξ’はx^2−w’x−1=0の根.

  z=(w+√(w^2+4))/2=(−1+√17+√(34−2√17))/4=2.04948

  z’=(w−√(w^2+4))/2=(−1+√17−√(34−2√17))/4

  ξ=(w’+√(w’^2+4))/2=(−1−√17+√(34+2√17))/4

  ξ’=(w’−√(w’^2+4))/2=(−1−√17−√(34+2√17))/4

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[3]ステップ3

  y=ζ+ζ^-1=2cos(2π/17)>0

  y’=z−y=ζ^4+ζ^-4=2cos(8π/17)<y

とおくと,直接の計算により,yy’=ξとなるから,y,y’はx^2−zx+ξ=0の根.

  y=(z+√(z^2−4ξ))/2=1/8{−1+√17+√(34−2√17)+2√(17+3√17+√(170−26√17)−4√(34+2√17)}=1.86494

  y’=(z−√(z^2−4ξ))/2

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[4]ステップ4

  ζはx^2−yx+1=0の根.

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[5]まとめ

  Q→(2次拡大)→Q(w)→(2次拡大)→Q(w,z)→(2次拡大)→Q(w,z,y)→(2次拡大)→Q(ζ)

より,ζは四則演算と平方根を使って書くことができる→ζは定規とコンパスを使って作図可能であることが示された.

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