36=6^2 (平方数)であるが、

36=8・9/2 (三角数）でもある最初の数である。

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オイラーは1730年に平方三角数は無限に存在することを証明したが、次の平方三角数は1225である。

1225=35^2 (平方数)

1225=49・50/2 (三角数）

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【４】三角数△と四角数□のパズル

（Ｑ１）△＝□？，すなわち，三角数ｎ（ｎ＋１）／２が完全平方数ｍ^2となるｎの値を求めよ．

（Ａ１）ｎ^2＋ｎ＝２ｍ^2

　　４ｎ^2＋４ｎ＋１＝８ｍ^2＋１

　　（２ｎ＋１）^2＝２（２ｍ）^2＋１

ここで，２ｎ＋１＝ｐ，２ｍ＝ｑとおくと

　　ｐ^2−２ｑ^2＝１　　（ペル方程式）

に帰着されます．

　　（ｐ，ｑ）＝（３，２），（１７，１２），（９９，７０），（５７７，４０８），（３３６３，２３７８），・・・

　→（ｎ，ｍ）＝（１，１），（８，６），（４９，３５），（２８８，２０４），（１６８１，１１８９），・・・ｎは完全平方と完全平方の２倍を交互に繰り返します．

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55はフィボナッチ数かつ三角数である数のうち、最大のものである。55は四角錐数でもある

8は自明な１を除き、立方数である唯一のフィボナッチ数である。

144は自明な１を除き、平方数である唯一のフィボナッチ数である。

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