４点（０，０，０），（１，０，０），（０，１，０），（０，０，１）を頂点とする三角錐のｎ拡大の格子点の個数は，

　　Ｌn＝（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）／６

となる．

　ここでは，４種類の硬貨２５セント，１０セント，５セント，１セントを用いて，１ドルを両替する方法は何通りあるかを考えてみよう．

　　［参］ＴＳマイケル「離散数学パズルの冒険」青土社

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【１】ｎ＝４の場合の両替問題

　　２５ｑ＋１０ｄ＋５ｎ＋ｐ＝１００Ｄ＝５０Ｎ

のｐを無視し，不等式

　　５ｑ＋２ｄ＋ｎ≦２０Ｎ

を満たす組（ｑ，ｄ，ｎ）を調べればよい．

　それに対応する格子直角三角錐は，４点（０，０，０），（２，０，０），（０，５，０），（０，０，１０）で体積は５０／３となる．また，

　　Ｌ＝４９，Ｉ＝２，Ｂ＝４７

より，

　　ＬN＝（５０／３）Ｎ^3＋（４５／２）Ｎ^2＋（５３／６）Ｎ＋１

　４種類の硬貨２５セント，１０セント，５セント，１セントを用いて，１ドルを両替する方法は，Ｎ＝２とおくと，２４２通りある．

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【２】ｎ＝４の場合の両替問題（その２）

　　２５ｑ＋１０ｄ＋５ｎ＋ｐ＝１００Ｄ＝５０Ｎ

のｐを無視し，不等式

　　５ｑ＋２ｄ＋ｎ≦１０Ｎ

を満たす組（ｑ，ｄ，ｎ）を調べればよい．

　それに対応する格子直角三角錐は，４点（０，０，０），（２，０，０），（０，５，０），（０，０，１０）で体積は５０／３となる．また，

　　Ｌ＝４９，Ｉ＝２，Ｂ＝４７

より，

　　ＬN＝（５０／３）Ｎ^3＋（４５／２）Ｎ^2＋（５３／６）Ｎ＋１

　４種類の硬貨２５セント，１０セント，５セント，１セントを用いて，１ドルを両替する方法は，Ｎ＝２とおくと２４２通りある．

　また，これらの硬貨をそれぞれ少なくとも１つは使う両替の方法は，三角錐内部の格子点に対応する．ｎ＝３の場合は中央項の符号が反転したが，ｎ＝４の場合は中央２項の符号が反転する．

　　ＩN＝（５０／３）Ｎ^3−（４５／２）Ｎ^2−（５３／６）Ｎ＋１

　１ドルを２５セント，１０セント，５セント，１セントをそれぞれ少なくとも１つは用いて両替する方法は６０通りあるというわけである．これくらいの数であれば，虱潰しに数え上げた方が着実であるといえるかもしれないが・・・．

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