ｎ＝２，ａ1＝５，ａ2＝８のとき，２７よりも小さい１４の数に対しては実現可能（０，５，８，１０，１３，１５，１６，１８，２０，２１，２３，２４，２５，２６），１４の数に対しては実現不可能（１，２，３，４，６，７，９．１１．１２，１４，１７，１９，２２，２７）．

　ちょうど半数が実現可能，半数が実現不可能であるという事実は，平方剰余を想起させる．２元１次形式と１元２次形式における共通点ということであろうか．

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【１】平方剰余

　ｐを素数として，

　　ｘ^2＝ａ　　（ｍｏｄ　ｐ）

を考える．左辺は０，１，４，９，・・・と続く．

　たとえば，ｐ＝１１のとき，

　　ａ＝０，１，４，９，５，３，３，５，９，４，１，・・・

を繰り返す．周期は１１となるが，０でない余りは１，３，４，９のみである．この５つの数を１１を法とする平方剰余，２，６，７，８，１０を平方非剰余という．０は平方剰余でも平方非剰余でもない．

　ｐ＝１３のとき，

　　ａ＝０，１，４，９，３，１２，１０，１０，１２，３，９，４，１，・・・

を繰り返す．周期は１３となるが，０でない余りは１，３，４，９，１０，１２のみである．この６つの数を１３を法とする平方剰余，２，５，６，７，８，１１を平方非剰余という．

　　ａ＝０，１，４，９，５，３，３，５，９，４，１，・・・

　　ａ＝０，１，４，９，３，１２，１０，１０，１２，３，９，４，１，・・・

はいずれも対称であるが，なぜならば

　　（ｐ−ｘ）^2＝ｘ^2＝ａ　　（ｍｏｄ　ｐ）

が成り立つからである．

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【２】平方剰余の相互法則

　　（ａ／ｐ）=＋１　←→　ａがｐを法とする平方剰余

　　　　　　　　　　　（ｘ^2=ａ　ｍｏｄｐなる整数ｘが存在するとき）

　　（ａ／ｐ）=−１　←→　平方非剰余（そうでないとき）

と定義します．

　たとえば，整数ａに対して，

　　ｘ^2=ａ　　ｍｏｄｐ

となる整数ｘが存在するかどうかを考えると

　　Ｚ／ｐＺ=Ｆp=｛０，１，・・・，ｐ−１｝

について代入してみればいいわけで，ｐ=５の場合，

　　０^2=０，１^2=１，２^2=４，３^2=９=４，４^2=１６=１

ですから，ａ=１，４（ｍｏｄ５）のときは平方剰余，ａ=２，３（ｍｏｄ５）のときは平方非剰余，すなわち，

　　（１／５）=（４／５）=１，（２／５）=（３／５）=−１

となります．

　　（ａ／ｐ）=ａ^{(p-1)/2} (mod p)　　　　　（オイラー規準）

　　（−１／ｐ）=（−１）^{(p-1)/2}，ｐ≠２　　（第１補充法則）

　　（２／ｐ）=（−１）^{(p^2-1)/8}，ｐ≠２　　（第２補充法則）

すなわち，オイラー規準において，（−１／ｐ）に関するものが第１補充法則，（２／ｐ）に関するものが第２補充法則と呼ばれます．

　クロネッカーの指標やディリクレの指標はルジャンドル記号の計算に還元されるのですが，オイラー規準は法ｐに関するａ^{(p-1)/2}の剰余を求めなければならないため，ｐが大きいとき（ａ／ｐ）を決定するのはかなり大変です．それに対して，

　　（ｑ／ｐ）（ｐ／ｑ）=（−１）^{(p-1)/2}{(ｑ-1)/2}

が有名なガウスの平方剰余の相互法則です．

　前述のように（ｐ／５）は簡単に計算されますが，その際，（５／ｐ）すなわちｘ^2=５（ｍｏｄｐ）なる整数ｘがあるかどうかについてもわかるというのが平方剰余の相互法則なのです．（ａ／ｐ）はガウスの相互法則を用いてすばやく計算することができます．

　たとえば，（３／ｐ）の場合，ガウスの平方剰余の相互法則において，ｑ＝３とおくと

　　（３／ｐ）（ｐ／３）＝（−１）^{(p-1)/2}

（ｐ／３）は簡単に計算できて

　　ｐ＝＋１（ｍｏｄ３）のとき１，

　　ｐ＝−１（ｍｏｄ３）のとき−１

一方，（−１）^{(p-1)/2}は

　　ｐ＝＋１（ｍｏｄ４）のとき１，

　　ｐ＝−１（ｍｏｄ４）のとき−１

ですから，まとめると

　　ｐ＝１または１１（ｍｏｄ１２）→　　１

　　ｐ＝５または７（ｍｏｄ１２）　→　−１

　　それ以外のとき　　　　　　　　→　　０

となることが理解されます．

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【３】おまけ

［Ｑ］２５７は素数６４１を法とする平方剰余か？　すなわち

　　ｘ^2＝２５７　　（ｍｏｄ ６４１）

を満たす自然数は存在するか？

［Ａ］（２５７／６４１）＝（６４１／２５７）＝（１２７／２５７）＝（２５７／１２７）＝（３／１２７）＝−（１２７／３）＝＝（１／２）＝−１．よって，平方非剰余．

［Ｑ］２８２は素数１５９７を法とする平方剰余か？

［Ａ］（２８２／１５９７）＝（２／１５９７）（３／１５９７）（４７／１５９７）

（２／１５９７）＝−１，（３／１５９７）＝１，（４７／１５９７）＝−１．よって，平方剰余．

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