（問）１つの円をｎ本の弦で分割する．その際，分割によってできる領域が最も多くなるようにする．最大分割領域数Ｓnはいくつになるか？

（答）Ｓn＝ｎ（ｎ＋１）／２＋１＝（ｎ^2＋ｎ＋２）／２

　　　Ｓ0＝１，Ｓ1＝２，Ｓ2＝４，Ｓ3＝７，・・・

　実はこの問題は

（問）平面をｎ本の線で分割する．その際，分割によってできる領域が最も多くなるようにする．最大分割領域数Ｓnはいくつになるか

と等価になる．

　　Ｓn＝１＋ｎ（ｎ＋１）／２＝（ｎ^2＋ｎ＋２）／２

　　　 ＝（ｎ，０）＋（ｎ，１）＋（ｎ，２）

とも書ける．

　ピザではなく，グレープフルーツをｎスライスしたときの最大ピース数を求めよという問題では，

　　Ｓn＝（ｎ＋２）（ｎ＋３）／６

　　Ｓ0＝１，Ｓ1＝２，Ｓ2＝４，Ｓ3＝８，

　　Ｓ4＝１５，Ｓ5＝２６，Ｓ6＝４２，Ｓ7＝６４，

　　Ｓ8＝９３，Ｓ9＝１３０，Ｓ10＝１７６，・・・

［補］Ｓn＝Ｓn-1＋（ｎ−１，０）＋（ｎ−１，１）＋（ｎ−１，２）

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【１】もうひとつのバージョン

　この問題も

（問）空間をｎ枚の平面で分割する．その際，分割によってできる領域が最も多くなるようにする．最大分割領域数Ｓnはいくつになるか

に等価で，答は

　　Ｓn＝（ｎ，０）＋（ｎ，１）＋（ｎ，２）＋（ｎ，３）＝（ｎ3＋５ｎ＋６）／６

　　Ｓ0＝１，Ｓ1＝２，Ｓ2＝４，Ｓ3＝８，Ｓ4＝１５，・・・

となる．

　一般に，

（問）ｍ次元空間をｎ枚の超平面で分割する．その際，分割によってできる領域が最も多くなるようにする．最大分割領域数Ｓnはいくつになるか，の答は

　　Ｓn＝（ｎ，０）＋（ｎ，１）＋（ｎ，２）＋（ｎ，３）＋・・・＋（ｎ，ｍ）

となります．

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