■ベン図・オイラー図(その17)

(問)1つの円をn本の弦で分割する.その際,分割によってできる領域が最も多くなるようにする.最大分割領域数Snはいくつになるか?

(答)Sn=n(n+1)/2+1=(n^2+n+2)/2

   S0=1,S1=2,S2=4,S3=7,・・・

 実はこの問題は

(問)平面をn本の線で分割する.その際,分割によってできる領域が最も多くなるようにする.最大分割領域数Snはいくつになるか

と等価になる.

  Sn=1+n(n+1)/2=(n^2+n+2)/2

    =(n,0)+(n,1)+(n,2)

とも書ける.

 ピザではなく,グレープフルーツをnスライスしたときの最大ピース数を求めよという問題では,

  Sn=(n+2)(n+3)/6

  S0=1,S1=2,S2=4,S3=8,

  S4=15,S5=26,S6=42,S7=64,

  S8=93,S9=130,S10=176,・・・

[補]Sn=Sn-1+(n−1,0)+(n−1,1)+(n−1,2)

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【1】もうひとつのバージョン

 この問題も

(問)空間をn枚の平面で分割する.その際,分割によってできる領域が最も多くなるようにする.最大分割領域数Snはいくつになるか

に等価で,答は

  Sn=(n,0)+(n,1)+(n,2)+(n,3)=(n3+5n+6)/6

  S0=1,S1=2,S2=4,S3=8,S4=15,・・・

となる.

 一般に,

(問)m次元空間をn枚の超平面で分割する.その際,分割によってできる領域が最も多くなるようにする.最大分割領域数Snはいくつになるか,の答は

  Sn=(n,0)+(n,1)+(n,2)+(n,3)+・・・+(n,m)

となります.

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