1935年、フランス人数学者集団ブルバキは、表面的には異なる領域において共通する構造を見出すことを目的として、いくつかの公理から演繹して数学のすべてを形式化する活動を始めた。

彼らは図の使用は避け、その刊行物には図が一切なかった。ブルバキが図による証明を嫌ったことには実質を伴った理由がある。

２円が交差した場合，交差部Ａ∩Ｂにはアーモンド型ができる．包除の組み合わせは２^2＝４通りあるが，どれにも属さない集合が２円の外側の領域で表される．

３円が交差した場合，３つのアーモンドが交差した部分Ａ∩Ｂ∩Ｃにさらにルーローの三角型ができる．包除の組み合わせは２^3＝８通りあるが，７通りと３円の外側の領域とですべて表される．

４円が交差した場合，包除の組み合わせは２^4＝１６通りあるが，外側を含めても１４の領域しかできないようにみえる．これでは１６通りの包除関係を表現できないことになってしまうが，原因は円を用いているからダメなのであって，楕円などの閉曲線を適宜用いるしかない．「図の危ないところ」といえるだろう．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

図に見えているのは平面幾何学的な特殊事情なのかもしれない。

ＡとＢとＣとＤの幾何学的な交わりを示す図を2次元の紙に描くことで、何かの関係を推論することには危険が伴うのである。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

ｎ本の直線は平面をn(n+1)/2+1=(n^2+n+2)/2に分割することができるが

ｎ本の円は平面をn^2-n+2に分割することができる

n=3のとき8=2^3、n=3のとき14＜2^4

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

n(n+1)/2+1=(n,0)+(n+1)+(n+2)

１１本の切れ目を入れることによって最大67の断片に切り分けることができる。

三角数が出てくる理由は最初の断片の後、最大で1，2，3、・・・というように断片を付け加えるからである

3次元での切断ならば、8回の裁断で93個に分断することができる。

(n,0)+(n+1)+(n,2)+(n,3)

1+8+28+56=93

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

（問）直線をｎ個の点で分割する．その際，分割によってできる領域が最も多くなるようにする．最大分割領域数Ｓnはいくつになるか，の答は

　　Ｓn＝（ｎ，０）＋（ｎ，１）

（問）平面をｎ本の線で分割する．その際，分割によってできる領域が最も多くなるようにする．最大分割領域数Ｓnはいくつになるか，の答は

　　Ｓn＝（ｎ，０）＋（ｎ，１）＋（ｎ，２）＝（ｎ^2＋ｎ＋２）／２

　　Ｓ0＝１，Ｓ1＝２，Ｓ2＝４，Ｓ3＝７，

　　Ｓ4＝１１，Ｓ5＝１６，Ｓ6＝２２，Ｓ7＝２９，

　　Ｓ8＝３７，Ｓ9＝４６，Ｓ10＝５６，・・・

（問）空間をｎ枚の平面で分割する．その際，分割によってできる領域が最も多くなるようにする．最大分割領域数Ｓnはいくつになるか，の答は

　　Ｓn＝（ｎ，０）＋（ｎ，１）＋（ｎ，２）＋（ｎ，３）＝（ｎ3＋５ｎ＋６）／６

　　Ｓ0＝１，Ｓ1＝２，Ｓ2＝４，Ｓ3＝８，

　　Ｓ4＝１５，Ｓ5＝２６，Ｓ6＝４２，Ｓ7＝６４，

　　Ｓ8＝９３，Ｓ9＝１３０，Ｓ10＝１７６，・・・

　一般に，

（問）ｍ次元空間をｎ枚の超平面で分割する．その際，分割によってできる領域が最も多くなるようにする．最大分割領域数Ｓnはいくつになるか，の答は

　　Ｓn＝（ｎ，０）＋（ｎ，１）＋（ｎ，２）＋（ｎ，３）＋・・・＋（ｎ，ｍ）

となるが，これらの問題は二項係数で表現するときれいなパターンになる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

（問）１つの円をｎ本の弦で分割する．その際，分割によってできる領域が最も多くなるようにする．最大分割領域数Ｓnはいくつになるか？

　実はこの問題は

（問）平面をｎ本の線で分割する．その際，分割によってできる領域が最も多くなるようにする．最大分割領域数Ｓnはいくつになるか

と等価になる．

　　Ｓn＝（ｎ，０）＋（ｎ，１）＋（ｎ，２）＝（ｎ^2＋ｎ＋２）／２

（問）１つの球をｎ個の面で分割する．その際，分割によってできる領域が最も多くなるようにする．最大分割領域数はいくつになるか？

　この問題も

（問）空間をｎ枚の平面で分割する．その際，分割によってできる領域が最も多くなるようにする．最大分割領域数Ｓnはいくつになるか

に等価で，答は

　　Ｓn＝（ｎ，０）＋（ｎ，１）＋（ｎ，２）＋（ｎ，３）＝（ｎ3＋５ｎ＋６）／６

　新しくナイフを入れて増加する３次元領域の数は，新しい平面上にそれがそれまでの平面と交わってできる２次元領域の数に等しいからである．

　立方体にナイフを６回入れる場合は２７個の小さい立方体を作ることができるが，形にこだわらなければ最大４２個の断片にできるというわけである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝