ペル方程式の範囲内と考えられるのは[5]

[5]c^2-12a^2=+1,c^2-2b^2=-1,b^2-6a^2=+1

(c,a)=(7,2)

(c,b)=(1,1)

(b,a)=(5,2)

m=24が解であることはわかったが、唯一であることは証明できるだろうか？

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ａn^2−２ｂn^2＝−１

が成り立つ最小解は（ａ，ｂ）＝（１，１）であることから，

　　（１＋√２）^n＝ａn＋ｂn√２

　　（１−√２）^n＝ａn−ｂn√２

を満足させるような整数列｛ａn｝，｛ｂn｝を考えます．これらの数列は

　　ａn^2−２ｂn^2＝（−１）^n

となる関係式で結ばれていて，

　　ａn／ｂn→　√２

ですから，√２に最も近い最良近似分数を与えることがわかります．

しかし、符号が交互に代わるため

　　ａn+1＋ｂn+1√２＝（１＋√２）（３＋√２）^n-1（ａn＋ｂn√２）

　　　　　　　　　　＝（３ａn＋４ｂn）＋（２ａn＋３ｂn）√２

より

　　ａn+1＝３ａn＋４ｂn，ｂn+1＝２ａn＋３ｂn

　　ａn+1＝３ａn＋４ｂn＝３ａn＋４（２ａn-1＋３ｂn-1）

　＝３ａnーａn-1＋３（３ａn-1＋４ｂn-1）＝６ａnーａn-1

　　ｂn+1＝２ａn＋３ｂn＝２（３ａn-1＋４ｂn-1）＋３ｂn

　＝３（２ａn-1＋３ｂn-1）ーｂn-1＋２ｂn＝６ｂnーｂn-1

これより，

　　ａn+1＝６ａnーａn-1，ｂn+1＝６ｂnーｂn-1

(a1,b1)=(1,1)

(a2,b2)=(7,5)

(a3,b3)=(41,29)

(a4,b4)=(239,169)

(a5,b5)=(1393,985)

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α，βを２次方程式ｘ^2−６ｘ＋１＝０の根３±２√２として，

　　ａn+1−αａn＝β（ａn−αａn-1）＝β^2（ａn-1−αａn-2）＝・・・＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）

α，βを入れ替えると

　　ａn+1−βａn＝α^(n-1)（ａ2−βａ1）

　　ａn+1−αａn＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）

したがって，整数列｛ａn｝の一般項は

　　ａn＝｛α^(n-1)（ａ2−βａ1）−β^(n-1)（ａ2−αａ1）｝／（α−β）

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