ペル方程式の範囲内と考えられるのは[5]

[5]c^2-12a^2=+1,c^2-2b^2=-1,b^2-6a^2=+1

(c,a)=(7,2)

(c,b)=(1,1)

(b,a)=(5,2)

m=24が解であることはわかったが、唯一であることは証明できるだろうか？

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ａn^2−１２ｂn^2＝１

が成り立つ最小解は（ａ，ｂ）＝（７，２）であることから，

　　（１＋√１２）^n＝ａn＋ｂn√１２

　　（１−√１２）^n＝ａn−ｂn√１２

を満足させるような整数列｛ａn｝，｛ｂn｝を考えます．これらの数列は

　　ａn^2−１２ｂn^2＝１^n

となる関係式で結ばれていて，

　　ａn／ｂn→　√１２

ですから，√１２に最も近い最良近似分数を与えることがわかります．

しかし、符号が交互に代わるため

　　ａn+1＋ｂn+1√１２＝（１＋√１２）^n（ａn＋ｂn√１２）

　　　　　　　　　　＝（ａn＋１２ｂn）＋（ａn＋ｂn）√１２

より

　　ａn+1＝ａn＋１２ｂn，ｂn+1＝ａn＋ｂn

　　ａn+1＝ａn＋１２ｂn＝ａn＋１２（ａn-1＋ｂn-1）

　＝ａn＋１１ａn-1＋（ａn-1＋１２ｂn-1）＝２ａn＋１１ａn-1

　　ｂn+1＝ａn＋ｂn＝（ａn-1＋１２ｂn-1）＋ｂn

　＝（ａn-1＋ｂn-1）＋１１ｂn-1＋ｂn＝２ｂn＋１１ｂn-1

これより，

　　ａn+1＝２ａn＋１１ａn-1，ｂn+1＝２ｂn＋１１ｂn-1

(a1,b1)=(7,2)

(a2,b2)=(31,9)

(a3,b3)=(139,40)

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