■キャノンボール問題(その19)

ペル方程式の範囲内と考えられるのは[5]

[5]c^2-12a^2=+1,c^2-2b^2=-1,b^2-6a^2=+1

(c,a)=(7,2)

(c,b)=(1,1)

(b,a)=(5,2)

m=24が解であることはわかったが、唯一であることは証明できるだろうか?

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an^2−12bn^2=1

が成り立つ最小解は(a,b)=(7,2)であることから,

  (1+√12)^n=an+bn√12

  (1−√12)^n=an−bn√12

を満足させるような整数列{an},{bn}を考えます.これらの数列は

  an^2−12bn^2=1^n

となる関係式で結ばれていて,

  an/bn→ √12

ですから,√12に最も近い最良近似分数を与えることがわかります.

しかし、符号が交互に代わるため

  an+1+bn+1√12=(1+√12)^n(an+bn√12)

          =(an+12bn)+(an+bn)√12

より

  an+1=an+12bn,bn+1=an+bn

  an+1=an+12bn=an+12(an-1+bn-1)

 =an+11an-1+(an-1+12bn-1)=2an+11an-1

  bn+1=an+bn=(an-1+12bn-1)+bn

 =(an-1+bn-1)+11bn-1+bn=2bn+11bn-1

これより,

  an+1=2an+11an-1,bn+1=2bn+11bn-1

 

(a1,b1)=(7,2)

(a2,b2)=(31,9)

(a3,b3)=(139,40)

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