■キャノンボール問題(その9)

 (その7)を補足.

[Q]1^2+2^2+3^2+・・・+m^2=m(m+1)(2m+1)/6=n^2が成り立つとき,m=0,1(mod24)であることを示せ.

までは途猶遠しなので,・・・

m=3k→m^2=3(3k^2)

m=3k+1→m^2=3(k^2+2k)+1

m=3k−1→m^2=3(k^2−2k)+1

m=4k→m^2=4(4k^2)

m=4k±1→m^2=4(4k^2±2k)+1

m=4k±2→m^2=4(4k^2±4k+1)

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[Q]1^2+2^2+3^2+・・・+m^2=m(m+1)(2m+1)/6=n^2,m=6k+2のとき,nは存在しないことを示せ.

m=6k+2

m(m+1)(2m+1)/6=(3k+1)(2k+1)(12k+5)=n^2

12k+5=2  (mod3)

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[Q]1^2+2^2+3^2+・・・+m^2=m(m+1)(2m+1)/6=n^2,m=6k+4のとき,nは存在しないことを示せ.

m=6k+4

m(m+1)(2m+1)/6=(3k+2)(6k+5)(4k+3)=n^2

3k+2=2  (mod3)

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[Q]1^2+2^2+3^2+・・・+m^2=m(m+1)(2m+1)/6=n^2,m=6k+5のとき,nは存在しないことを示せ.

m=6k+5

m(m+1)(2m+1)/6=(6k+5)(k+1)(12k+11)=n^2

6k+5=2  (mod3)

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[まとめ]これでm=6k,6k+1の場合だけになったので,

m=24k,24k+6,24k+8,24k+16

m=24k+1,24k+7,24k+9,24k+17

の場合まで絞られた.

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