１個のキャノンボールを１辺2（4個）の正方形の上に載せる。次に、これを１辺3（9個）の正方形の上に載せる。・・・ｎ段のピラミッドが出来上がる。

2段のピラミッドのキャノンボールの総数は1^2+2^2=5　（非平方数）

3段のピラミッドのキャノンボールの総数は1^2+2^2+3^2=14　（非平方数）

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n段のピラミッドのキャノンボールの総数はn(n+1)(2n+1)/6となる

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23段のピラミッドのキャノンボールの総数は23・24・47/6=4324　（非平方数）

24段のピラミッドのキャノンボールの総数は24・25・49/6=4900=70^2　（平方数）

24は平方数となる最初の数であり、最後の数でもある。

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【１】リュカの問題

この節では辺が相続く整数列１，２，３，４，５，・・・の大きさの異なる正方形による正方形充填問題について考えてみることにします．

　　１^2＋２^2＋３^2＋・・・＋２４^2＝２４（２４＋１）（２・２４＋１）／６＝７０^2

は，最初の２４個の平方数の合計が平方数になっているという面白い式です．驚異的ですらあります．

　級数の公式：Σｋ^2＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６をご存じの方も多いでしょうが，１からｎまでの平方の和が平方数となるのはｎが１か２４の場合しかありません．四面体数＝四角数あるいは２５平方の等式ともいうべきこの等式はリュカの問題（１８７３年）として知られています．

　ｙ^2＝ｘ（ｘ＋１）（２ｘ＋１）／６の唯一自明でない整数解は（２４，７０）で，それ以外の自明な解がないことは楕円関数やペル方程式を使って証明されています．すなわち，１より大きい数でこれが起こるのは２４だけで，それ以外の数では決して最初の２個の平方の和は平方数にはならないのです．

　この等式は辺の長さが相続く整数列１，２，・・・，２４の正方形を１辺の長さ７０の正方形の中に詰め込める可能性があることを示唆しています．それでは，実際に，７０×７０の正方形を辺が１から２４の相続く正方形によって埋めつくすことができるでしょうか．この問題の答えは否定的（不可能）です．１辺の長さ７の正方形を除くすべての正方形は詰め込めるのですが・・・．それならば，無駄な空間の割合を最小にして，辺の長さが１，２，・・・，ｎの正方形を全て詰め込むことができる最小の正方形の辺の長さはいくつでしょうか．また，相続く整数辺の正方形を使って長方形を充填できるでしょうか．

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