［３］オイラー・ラグランジュの定理（４平方和定理）

　また，前述の数値実験から

　　「すべての正の整数は，ｇ個の平方数の和として表すことができるだろうか？　さらに，ｇの最小値はいくつであろうか？」

というより高度な問題が派生します．

　　「すべての正の整数は４個の整数の平方和で表される」

というのが，ラグランジュの定理なのですが，驚くべきことに，７のみならず任意の自然数はたった４つの平方数の和の形に表せるのです．

　　７＝２^2＋１^2＋１^2＋１^2

　　２＝１^2＋１^2＋０^2＋０^2

このことを，シンボリックに書くと

　　ｎ＝□＋□＋□＋□

となります．□は平方数の意味です．

　オイラーはこの定理の直前まで行きながら，最後の段階で成功しませんでした．ラグランジュはオイラーの研究成果からアイデアを得て，１７７２年，最後の段階を突破したのですが，その証明中で用いられる基本公式が

　　ｘ＝ａｐ＋ｂｑ＋ｃｒ＋ｄｓ，

　　ｙ＝ａｑ−ｂｐ＋ｃｓ−ｄｒ，

　　ｚ＝ａｒ−ｂｓ−ｃｐ＋ｄｑ，

　　ｗ＝ａｓ＋ｂｒ−ｃｑ−ｄｐ

とおくと

　　（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）（ｐ^2＋ｑ^2＋ｒ^2＋ｓ^2）＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2

が成り立つというもので，１７４８年にオイラーによって証明されています．

　この基本公式はハミルトンの４元数（１８４３年）を使ったうまい方法でも証明されますが，それにしても，オイラーはどのようにして発見したのでしょう？　なお，四元数は複素数に似ていますが，ただ１つではなく３つの虚数をもつ数体系で，ｉ^2＝−１，ｊ^2＝−１，ｋ^2＝−１，ｉｊ＝ｋ，ｊｋ＝ｉ，ｋｉ＝ｊ，ｊｉ＝−ｋ，ｋｊ＝−ｉ，ｉｋ＝−ｊなる性質をもち，

　（ｘ＋ｙｉ＋ｚｊ＋ｗｋ）（ｘ−ｙｉ−ｚｊ−ｗｋ）＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2

となります．

　上に掲げた基本公式は，４つの平方数の和となっている数は積の演算で閉じていること，すなわち，ｎ1が４つの平方数の和ならば，ｎ1ｎ2もそうであることを示しています．これにより，ラグランジュの定理を証明するには，すべての素数ｐが４つの平方数の和であるということの証明に帰着されることになります．また，

　　２＝１^2＋１^2＋０^2＋０^2

ですから，ｐは素数と仮定してもよいわけです．

　すべての奇素数ｐが４つの平方数の和であることの証明も，背理法の１種である無限降下法によって証明できるのですが，これについては最近出版された

　　J.S.Chahal著，織田進訳「数論入門講義」共立出版

にわかりやすい解説がありましたので，それに譲ることにします．

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［補］頭の体操？　純然たる数学？

　ラグランジュの定理は２次形式の問題なので，ｎ次元空間における格子点の配置の問題として幾何学的にも考えることができます．それによると，１から１０までの整数は

　　（１，２，４，５，８，９，１０），（３，６），（７）

の３群に分けることができます．

　すなわち，２個以下の平方数の和で表される整数，３個の平方数の和で表される整数，４個の平方数の和で表される整数というわけです．あるいは，平方数を独立させて，

　　（１，４，９），（２，５，１０），（３，６），（７）

の４群に分けるほうがよりスマートでしょう．

　それでは

　　（２，３，４，５，７，８，９），（６，１０）

の２群がどのような規則で分けられたものか，各自，考えてみて下さい．

　答は２つ以上の異なる素数の積になっているのが（６，１０）です．

　　６＝２×３，１０＝２×５

　素数や４＝２^2，８＝２^3，９＝３^2のように１つの素数のベキ乗になっている数は，（２，３，４，５，７，８，９）の群に入ります．実はこの問題は単なるクイズではなく，れっきとした数学の問題です．

　代数学の教えるところによれば，ｎ元の体（加減乗除の演算が定義された集合）が存在するための必要十分条件は，ｎが素数（のベキ乗）になっていることで，位数２，３，４，５の体は存在するが，位数６の体は存在しない．そして，位数７，８，９の体は存在して，位数１０のものは存在しないのです．

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