【４】ラグランジュの定理（４平方和定理）

　まず，簡単な数値実験から始めることにしましょう．１から１０までの整数をいくつかの平方数の和の形式で表現するというものです．→［補］

　整数の平方

　　０，１，４，９，１６，２５，・・・

は非常にまばらにしか存在しませんが，２つの平方数の和の形で表される整数はより頻繁に現れます．１，２，４，５，８，９，１０，・・・

　　１＝１^2＋０^2

　　２＝１^2＋１^2

　　４＝２^2＋０^2

　　５＝２^2＋１^2

　　８＝２^2＋２^2

　　９＝３^2＋０^2

　１０＝３^2＋１^2

　ここで，３，６，７といった整数は，２つの平方の和では書けないことがわかります．しかし，３つの平方和となると幾分間隙を埋めてくれます．

　　３＝１^2＋１^2＋１^2

　　６＝２^2＋１^2＋１^2

　それでも，なおすべての正の整数を得ることはできません．最後まで残った７に対しては３つの平方数の和で書けず，４つの平方数が必要となります．

　　７＝２^2＋１^2＋１^2＋１^2

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　このような数値実験からいくつかのことが予想され，肯定的に証明されています．

［１］フェルマー・オイラーの定理（２平方和定理）

　特別な素数である２を除外して，素数は４で割ると余りが１になるもの（５，１３，１７，２９，３７，４１，・・・）と３になるもの（３，７，１１，１９，２３，３１，・・・）の２種類に分けられます．

　このうち，４ｎ＋１の形の素数は２つの整数の平方の和として表されます．たとえば，５＝１^2＋２^2，１３＝２^2＋３^2，１７＝１^2＋４^2，２９＝２^2＋５^2

　しかし，４ｎ＋３の形の素数は１つもこのようには表せないのです．この定理はフェルマーの定理と呼ばれ，フェルマーは無限降下法でこれを証明しましたが，その証明は不十分で，１００年後のオイラーによって完全な証明がなされています．

　それでは，どのような自然数ｍが２つの平方数の和の形に書くことができるのでしょうか？　２つの平方数の和になる数ｍ＝４ｎ＋３はありません．ｍの素因数分解におけるｐ＝４ｎ＋３の形のすべての素因数の指数が偶数であるときに限り，２つの平方数の和の形に表すことができるのです．

［２］ルジャンドルの定理（３平方和定理）

　４ｎ＋３の形の数は２個の平方数の和で表せませんが，同様にして，

　　「８ｎ＋７の形の数は３個の平方数の和では表されない．」

ルジャンドルは，２次形式ａｘ^2＋ｂｙ^2＋ｃｚ^2の研究を通して，この結果を得ています．　

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