ラグランジュの４平方和定理とは、どんな自然数もx^2+y^2+z^2+w^2と書けるというものである。

それでは、どんな自然数もx^2+2y^2+3z^2+4w^2と書けるという命題は正しいであるろうか？

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試みてみよう。

1=1^2+2・0^2+3・0^2+4・0^2

2=0^2+2・1^2+3・0^2+4・0^2

3=0^2+2・0^2+3・1^2+4・0^2

4=0^2+2・0^2+3・0^2+4・1^2

5=1^2+2・0^2+3・0^2+4・1^2

6=2^2+2・1^2+3・0^2+4・0^2

7=2^2+2・0^2+3・1^2+4・0^2

8=0^2+2・2^2+3・0^2+4・0^2

9=3^2+2・0^2+3・0^2+4・0^2

10=1^2+2・1^2+3・1^2+4・1^2

11=0^2+2・2^2+3・1^2+4・0^2

12=0^2+2・0^2+3・2^2+4・0^2

13=1^2+2・0^2+3・2^2+4・0^2

14=0^2+2・1^2+3・2^2+4・0^2

15=1^2+2・1^2+3・2^2+4・1^2

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しかし、この先を試す必要はない。

コンウェイ・シュニーバーガーの15定理「最初の１５の整数をすべて表せる正定値２次形式は、任意の整数を表すことができる」

そのような正定値２次形式はax^2+by^2+cz^2+dw^2という形をしていて、

x^2+y^2+z^2+w^2からx^2+2y^2+5z^2+10w^2まで54通り存在する。

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バールガバの73定理「最初の73までの素数をすべて表せる正定値２次形式は、任意の素数を表すことができる」

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