整数を１０００進法で表した場合

　　Ｐ＝ａn・１０００^(n-1)＋ａn-1・１０００^(n-2)＋・・・＋ａ1

その数が３７で割り切れるかどうかの判定法は，１０００＝１（ｍｏｄ３７）より

　　Ｐ＝ａn＋ａn-1＋・・・＋ａ1　　（ｍｏｄ３７）

各位の数の和が３７の倍数のとき，そのときに限り３７の倍数である．

　また，１０００＝−１（ｍｏｄ７・１１・１３＝１００１）より

　　Ｐ＝（ａ1＋ａ3＋・・・）−（ａ2＋ａ4＋・・・）　　（ｍｏｄ７・１１・１３）

奇数番目の桁の数の和と偶数番目の桁の数の和との差が７，１１，１３の倍数のとき，そのときに限りその数のの倍数である．

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　ところで，１００１＝７・１１・１３は連続する３つの素数の積になっている不思議な数である．この１００１を繰り返して使うと，１０進法で７の倍数，１３の倍数を判定できる．

　すなわち，整数ａがあったとき，１００１をどんどん引いていけば最終的には１０００以下の整数ｂになる．この整数ｂが７の倍数，１３の倍数のとき，整数ａも７の倍数，１３の倍数である．したがって，３桁の整数が７の倍数，１３の倍数であることが判定できればよいことになる．

　　Ｐ＝ａ3・１０^2＋ａ2・１０＋ａ1

において，

　　Ｐ＝２ａ3＋３ａ2＋ａ3　　　（ｍｏｄ７）

　　Ｐ＝ａ3−ａ2＋ａ3　　　　　（ｍｏｄ１１）

　　Ｐ＝−４ａ3−３ａ2＋ａ3　　（ｍｏｄ１３）

３桁の数が７の倍数であるためには２ａ3＋３ａ2＋ａ3が７の倍数になることが必要十分である．

３桁の数が１３の倍数であるためには−４ａ3−３ａ2＋ａ3が１３の倍数になることが必要十分である．

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