【３】基本単体に関する反転によって生成される群

　結論を先にいってしまいましたが，とはいっても，これには大変な手間がかかります．その理由はｎ（≧４）次元図形になると計算に頼らざるをえず，例外型のルート系を漏れなく調べるのが大変になるからです．以下には考え方の基本になる一般論をいささか天下り的に与えておきます．

　ｎ次元空間の正多胞体とは「ｎ個の超平面に囲まれ，全体の中心ｏnから各頂点ｏ0，各辺の中点ｏ1，各面の中心ｏ2，・・・，各超辺の中心ｏn-2，各超平面の中心ｏn-1までの距離がそれぞれ相等しく，そのｍ次元成分はすべてｍ次元の正多胞体である」と定義されます．

　このとき，ｏnｏn-1・・・ｏ1ｏ0を結んだｎ次元単体を「基本単体」と呼びます．ｏ0ｏ1，ｏ1ｏ2，・・・，ｏn-1ｏnは互いに直交するので，ｎ次元正多胞体の諸量を計算するための基本となっています．基本単体は万華鏡のように隣同士が互いに鏡像形で，半分ずつが互いに合同です．

　基本単体の個数ｇは正多胞体にとって最も大切な基本量です．基本単体は隣同士が鏡像形であり，半分ずつが互いに合同であることより，３次元正多面体の基本単体の個数は

　　ｇ＝２ｐｆ＝２ｑｖ＝４ｅ

すなわち，正多面体の辺の個数ｅの４倍と等しくなります．この基本領域は超球面上，または，ユークリッド空間内の単体になるのですが，それに応じて有限群（正多面体）か離散無限群（空間充填形）になります．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　ａを行ベクトル，ｘを列ベクトルとして

　　ａ＝（ａ1，・・・，ａn）

　　ｘ’＝（ｘ1，・・・，ｘn）

実数をｃとおくと，ｎ次元ユークリッド空間の超平面は，

　　ａｘ’＝ｃ

で表すことができます．原点を通るときｃ＝０です．

　ベクトルａを超平面の法線ベクトルと呼びます．法線ベクトルはスカラー倍を除いて一意に定まります．ａをその長さ‖ａ‖で割ったベクトルａ／‖ａ‖を考えると，これは長さ１の単位法線ベクトルとなります．

　また，ａが単位法線ベクトル，すなわち，

　　ａ1^2＋ａ2^2＋・・・＋ａn^2＝１

が成り立つとき，ｃは原点から超平面へ引いた垂線の（符号のついた）長さとなります．

　ｎ＝１なら方程式はａｘ＝ｂですから，超平面は点にほかなりません．ｎ＝２ならａｘ＋ｂｙ＝ｃとなり，超平面は直線，ｎ＝３ならａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＝ｄですから，超平面は平面を表します．３次元空間内の超平面が普通の平面だし，２次元空間内の超平面は直線ですから，ｎ次元空間の場合，ｎ−１次元の線形多様体を超平面というのです．

　超平面＜ａ，ｘ＞＝０に対するｂの反転像をｂ’とすると，ｂ−ｂ’はａに平行であり，

　　ｂ−ｂ’＝２＜ｂ，ａ＞／＜ａ，ａ＞

なる関係式が成立します．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　２次元の正多角形はその辺数ｐで，３次元の正多面体は面の辺数ｐと各頂点に会する面の個数ｑをペアにしたシュレーフリ記号（ｐ，ｑ）で表されます．それと同様に，ｎ次元正多胞体ではシュレーフリ記号を一般化して，ｎ−１次元超平面（ｐ1，ｐ2，・・・，ｐn-2）が３次元低い構成要素上にｐn-1個ずつ会する，

　　（ｐ1，ｐ2，・・・，ｐn-2，ｐn-1）

で表現されます．

　たとえば，

　　ｎ次元正単体は（３，３，・・・，３，３），

　　双対立方体は（３，３，・・・，３，４），

　　超立方体は（４，３，・・・，３，３）

と表されます．これを逆順にした（ｐn-1，ｐn-2，・・・，ｐ1）で表される正多胞体が双対正多胞体です．ここで，

　　ｃk＝ｃｏｓ（π／ｐk）

とおきます．

　また，ｎ次元単位単体Δ＝ｏnｏn-1・・・ｏ1ｏ0を定め，１点から各面（超平面）までの距離を（ｘ0，ｘ1，・・・，ｘn）とします．（ｘ0，ｘ1，・・・，ｘn）は２次元の三線座標のｎ次元版です．

　すると，定数ｃ0，ｃ1，・・・，ｃnについて

　　ｃ0ｘ0＋ｃ1ｘ1＋・・・＋ｃnｘn＝１

が成立します．さらに，各面（超平面）の単位法線ベクトルをｅkとすると，ｎ＋１本のベクトル間には

　　ｃ0ｅ0＋ｃ1ｅ1＋・・・＋ｃnｅn＝０　　　（ゼロベクトル）

なる１次関係があります．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　ここで，基本行列

　　　　［０，ｃ1 ，０，・・・・・・・・・，０］

　　　　［ｃ1 ，０，ｃ2 ，０，・・・・・・，０］

　　Ｃ＝［０，ｃ2 ，０，ｃ3 ，０，・・・・，０］

　　　　［・・・・・・・・・・・・・・・・・・］

　　　　［０・・・・・・・・・・・，０，ｃn-1 ］

　　　　［０，・・・・・・・・・０，ｃn-1 ，０］

を作り，固有方程式

　　Ｐn（λ）＝ｄｅｔ｜λＩ−Ｃ｜＝０

からその固有ベクトル（１次変換によって同じ方向に写るベクトル）と固有値λ（その拡大率）を求めるのですが，これを解くとＣの固有ベクトルが基本単体の超平面に関する反転列Ｒ1・・・Ｒnによって不変なベクトルとなります．（頂点ｏkに対する超平面Πkに関する反転を便宜上番号をずらせてＲk+1としています．）

　また，三重対角行列となることから，漸化式

　　Ｐn+1（λ）＝λＰn（λ）−ｃn^2Ｐn-1（λ）

　　Ｐ1（λ）＝λ，Ｐ2（λ）＝λ^2−ｃ1^2

を得ることができます．

　空間充填形の固有値についてはλ＝±１となるのですが，正多面体については｜λ｜＜１で

　　λ＝ｃｏｓξ，ξはπと有理比

と書くことができます．その際，最大固有値が重要なのですが，最大固有値をとるξ（の最小値）はペトリー数ｈを用いてπ／ｈで表されます．

　　λmax＝ｃｏｓ（π／ｈ）

　ペトリー数とは，反転が何回でもとに戻るかという鏡像変換に関係した基本量で，基本単体の数をｇとすると，３次元正多面体では

　　ｇ／ｈ＝（ｈ＋２）＝２４／（１０−ｐ−ｑ）

４次元正多胞体の場合は

　　ｇ／ｈ＝６４／（１２−ｐ−２ｑ−ｒ＋４／ｐ＋ｑ／４）

で表されます．

　基本単体の超平面に関する反転列Ｒ1・・・Ｒnによって全周の１／ｈだけ回転するのですが，ｎが奇数ならばこれに反転が加わり，ｎが偶数ならば本来の回転となります．そして（Ｒ1・・・Ｒn）^(h/2)は中心に対する反転となるのです．

　なお，正ｎ角形にはｎ本の対称軸がありますが，正多面体の対称面の個数は？ｎ次元の正多胞体に対称超平面は合計何枚あるのか？という問題の答は，ｎを次元数，ｈをペトリー数として

　　ｍ＝ｎｈ／２

枚で与えられます．正多角形の対称軸の数ｍ＝２ｎ／２において，分子の２は平面の次元数と解釈できます．また，３次元正多面体の対称面はｍ＝３ｈ／２個ですが，３は次元数です．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝