今回のコラムでは高次元正多面体の変換群について考察しますが，αに対する鏡映をＲαで表すことにします．このような鏡映Ｒにより生成される群がコクセター群です．イントロダクションとして次の問題を紹介することから始めたいと思います．

　コラム「超幾何関数のはなし」では，正多面体群（シュワルツの三角群）について説明するために，三角形Ｐ（黒塗り）とそれを裏返した三角形Ｑ（白塗り）の２つを交互に並べて，平面全体をタイル張りすることを考えました．たいていの場合は途中でタイル同士が重なってしまいますが，うまくいくと市松模様のタイル張りができあがります．

（問）Ｐがどのような形のとき，このようなタイル張り（平面の市松模様三角形タイル張り）が可能であろうか？

（答）すなわち，三角形が偶数回の反転で元に戻る場合である．これが可能なためには，１つの頂点で偶数個の３角形が交わらなければならないので，これを２ａとおく．また，その頂点の角度をλπとおくと，頂点を一回りしたので，２ａλπ＝２π．ゆえに，

　　λ＝１／ａ　　　ただし，ａは２以上の自然数．

　まったく，同様に残り２つの内角に対しても

　　μ＝１／ｂ，ν＝１／ｃ

　また，λπ＋μπ＋νπ＝πより

　　１／ａ＋１／ｂ＋１／ｃ＝１

　この等式を満たす（ａ，ｂ，ｃ）の組は非常に少ない．便宜上，ａ≧ｂ≧ｃとすると

　　（３，３，３）　→　正三角形

　　（４，４，２）　→　直角二等辺三角形

　　（６，３，２）　→　３０°，６０°，９０°の三角形

の３種類が得られる．

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