「固有値と零点（その１０）」で取り上げた，Ｚn（１）＝Ｆn+1

Ｆn＝Π（１＋４ｃｏｓ^2（ｋπ／ｎ），ｋ＝１〜［ｎ／２］

これはフィボナッチ数の無限積表示である．フィボナッチ数列の三角関数表現でもある．

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初項１，第２項２のフィボナッチ数列

　　１，２，３，５，８，１３，・・・

の一般項は

　　Ｆn＝１／√５［｛（１＋√５）／２｝^n+1−｛（１−√５）／２｝^n+1］

で表されるが，

　　Ｆn＝Π(k=1~[(n+1)/2])｛１＋４ｃｏｓ^2（ｋπ／（ｎ＋１））｝

はその三角関数表現になっている．この式はどうやって求めたものなのか？

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【１】ｘ^n+1−１の因数分解

　ｆ（ｘ）＝ｘ^n+1−１＝０の解を

　　αk＝ｃｏｓ（２ｋπ／（ｎ＋１））＋ｉｓｉｎ（２ｋπ／（ｎ＋１））

とおく．

　複素数αkの共約複素数をαk~で表すことにすると

　　αk＋αk~＝２ｃｏｓ（２ｋπ／（ｎ＋１）），αkαk~＝１

より，

　　（ｘ−αk）（ｘ−αk~）＝ｘ^2−２ｐk＋１

　　ｐk＝ｃｏｓ（２ｋπ／（ｎ＋１））

となる．

　ｘ^n+1−１の因数分解はｎの偶奇によって若干様子が異なるが，ｎが偶数（ｎ＝２ｍ）ならば，ｎ＋１＝２ｍ＋１は奇数となって，ｆ（ｘ）＝０の解は１，α1，α1~，αm，αm~となるから

　　ｘ^n+1−１＝（ｘ−１）Π(k=1~m)（ｘ^2−２ｐk＋１）

　ｎが奇数のとき（ｎ＋１＝２ｍ）は，±１，α1，α1~，αm-1，αm-1~より

　　ｘ^n+1−１＝（ｘ−１）（ｘ＋１）Π(k=1~m-1)（ｘ^2−２ｐk＋１）

となる．

　以上のことを同次化すると

ｎ＝２ｍのとき，

　　ａ^n+1−ｂ^n+1＝（ａ−ｂ）Π(k=1~m)（ａ^2−２ｐkａｂ＋ｂ^2）

ｎ＝２ｍ−１のとき，

　　ａ^n+1−ｂ^n+1＝（ａ−ｂ）（ａ＋ｂ）Π(k=1~m-1)（ａ^2−２ｐkａｂ＋ｂ^2）

　　ｐk＝ｃｏｓ（２ｋπ／（ｎ＋１））

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【２】フィボナッチ数列の三角関数表現

　　φ＝（１＋√５）／２，−１／φ＝（１−√５）／２

とおくと，

　　Ｆn＝１／√５［φ^n+1−（−１／φ）^n+1］

となる．

　また，

　　ｔ＝√５／２，φ＝１／２＋ｔ＝ａ，−１／φ＝１／２−ｔ＝ｂ

>とおくと，

　　ａ^2−２ｐkａｂ＋ｂ^2

　＝（１／２＋ｔ）^2−２ｐk（１／２＋ｔ）（１／２−ｔ）＋（１／２−ｔ）^2

　＝２｛（２^-2＋ｔ^2）−（２^-2−ｔ^2）ｐk｝

　＝２｛２^-2（１−ｐk）＋ｔ^2（１＋ｐk）｝

　ｐk＝ｃｏｓ（２ｋπ／（ｎ＋１））のとき，半角の公式

　　１−ｐk＝２ｓｉｎ^2（ｋπ／（ｎ＋１））

　　１＋ｐk＝２ｃｏｓ^2（ｋπ／（ｎ＋１）

より

　　ａ^2−２ｐkａｂ＋ｂ^2

　＝ｓｉｎ^2（ｋπ／（ｎ＋１））＋４ｔ^2ｃｏｓ^2（ｋπ／（ｎ＋１））

　＝１＋（４ｔ^2−１）ｃｏｓ^2（ｋπ／（ｎ＋１））

　＝１＋４ｃｏｓ^2（ｋπ／（ｎ＋１））

　ｎが偶数の場合，

　　（ａ−ｂ）／√５＝１，ｍ＝ｎ／２

ｎが奇数の場合，

　　（ａ−ｂ）（ａ＋ｂ）／√５＝１，ｍ＝（ｎ＋１）／２

となって，いずれの場合も

　　Ｆn＝Π(k=1~[(n+1)/2])｛１＋４ｃｏｓ^2（ｋπ／（ｎ＋１））｝

で表されるというわけである．

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