１，２，３，５，８，１３，・・・

の一般項は

　　Ｆn＝１／√５［｛（１＋√５）／２｝^n+1−｛（１−√５）／２｝^n+1］

で表されるが，

　　Ｆn＝Π(k=1~[(n+1)/2])｛１＋４ｃｏｓ^2（ｋπ／（ｎ＋１））｝

はその三角関数表現になっているとのことである．　この式はどうやって求めたものなのか，

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【１】ｘ^n+1−１の因数分解

　ｆ（ｘ）＝ｘ^n+1−１＝０の解を

　　αk＝ｃｏｓ（２ｋπ／（ｎ＋１））＋ｉｓｉｎ（２ｋπ／（ｎ＋１））

とおく．

　複素数αkの共約複素数をαk~で表すことにすると

　　αk＋αk~＝２ｃｏｓ（２ｋπ／（ｎ＋１）），αkαk~＝１

より，

　　（ｘ−αk）（ｘ−αk~）＝ｘ^2−２ｐk＋１

　　ｐk＝ｃｏｓ（２ｋπ／（ｎ＋１））

となる．

　ｘ^n+1−１の因数分解はｎの偶奇によって若干様子が異なるが，ｎが偶数（ｎ＝２ｍ）ならば，ｎ＋１＝２ｍ＋１は奇数となって，ｆ（ｘ）＝０の解は１，α1，α1~，αm，αm~となるから

　　ｘ^n+1−１＝（ｘ−１）Π(k=1~m)（ｘ^2−２ｐk＋１）

　ｎが奇数のとき（ｎ＋１＝２ｍ）は，±１，α1，α1~，αm-1，αm-1~より

　　ｘ^n+1−１＝（ｘ−１）（ｘ＋１）Π(k=1~m-1)（ｘ^2−２ｐk＋１）

となる．

　以上のことを同次化すると

ｎ＝２ｍのとき，

　　ａ^n+1−ｂ^n+1＝（ａ−ｂ）Π(k=1~m)（ａ^2−２ｐkａｂ＋ｂ^2）

ｎ＝２ｍ−１のとき，

　　ａ^n+1−ｂ^n+1＝（ａ−ｂ）（ａ＋ｂ）Π(k=1~m-1)（ａ^2−２ｐkａｂ＋ｂ^2）

　　ｐk＝ｃｏｓ（２ｋπ／（ｎ＋１））

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【２】フィボナッチ数列の三角関数表現

　　φ＝（１＋√５）／２，−１／φ＝（１−√５）／２

とおくと，

　　Ｆn＝１／√５［φ^n+1−（−１／φ）^n+1］

となる．

　また，

　　ｔ＝√５／２，φ＝１／２＋ｔ＝ａ，−１／φ＝１／２−ｔ＝ｂ

とおくと，

　　ａ^2−２ｐkａｂ＋ｂ^2

　＝（１／２＋ｔ）^2−２ｐk（１／２＋ｔ）（１／２−ｔ）＋（１／２−ｔ）^2

　＝２｛（２^-2＋ｔ^2）−（２^-2−ｔ^2）ｐk｝

　＝２｛２^-2（１−ｐk）＋ｔ^2（１＋ｐk）｝

　ｐk＝ｃｏｓ（２ｋπ／（ｎ＋１））のとき，半角の公式

　　１−ｐk＝２ｓｉｎ^2（ｋπ／（ｎ＋１））

　　１＋ｐk＝２ｃｏｓ^2（ｋπ／（ｎ＋１））

より

　　ａ^2−２ｐkａｂ＋ｂ^2

　＝ｓｉｎ^2（ｋπ／（ｎ＋１））＋４ｔ^2ｃｏｓ^2（ｋπ／（ｎ＋１））

　＝１＋（４ｔ^2−１）ｃｏｓ^2（ｋπ／（ｎ＋１））

　＝１＋４ｃｏｓ^2（ｋπ／（ｎ＋１））

　ｎが偶数の場合，

　　（ａ−ｂ）／√５＝１，ｍ＝ｎ／２

ｎが奇数の場合，

　　（ａ−ｂ）（ａ＋ｂ）／√５＝１，ｍ＝（ｎ＋１）／２

となって，いずれの場合も

　　Ｆn＝Π(k=1~[(n+1)/2])｛１＋４ｃｏｓ^2（ｋπ／（ｎ＋１））｝

で表されるというわけである．

　初項１，第２項１から始まるフィボナッチ数列

　　１，１，２，３，５，８，・・・

の場合は，

　　Ｆn＝１／√５［｛（１＋√５）／２｝^n−｛（１−√５）／２｝^n］

であるから，ｘ^n−１に対応していて

　　Ｆn＝Π(k=1~[n/2])｛１＋４ｃｏｓ^2（ｋπ／ｎ）｝

となる．

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【３】雑感

　コラム「パズルワールド散策（その７）」で取り上げた畳敷きの問題（ｎ×２ｍの長方形の部屋にｎ×ｍ枚の畳を敷く場合の敷き方は何通りあるか）で，とくにｍ＝１のときは

　　Ｋ（ｎ×２）＝Π(l=1~[(n+1)/2]｛１＋４ｃｏｓ^2（ｌπ／（ｎ＋１））｝

という式が出てくるが，これはフィボナッチ数列の三角関数表現になっている．

　ここで，ｎ→２ｍと置き換えれば

　　Ｋ（２ｍ×２）＝Ｋ（２×２ｍ）

　＝Π(k=1~m]｛１＋４ｃｏｓ^2（ｋπ／（２ｍ＋１））｝

となる．また，ｎ＝１のとき，畳の敷き方はただ１通りであるから，

　　Ｋ（１×２ｍ）＝１

　　１＋４ｃｏｓ^2（ｋπ／（２ｍ＋１））

の１はＫ（１×２ｍ）＝１の場合に対応していて，組み合わせ数の本質的な部分は

　　４ｃｏｓ^2（ｋπ／（２ｍ＋１））

と思われる．そこで，Ｋ（ｎ×２ｍ）を求めるには１の代わりに

　　４ｃｏｓ^2（ｌπ／（ｎ＋１））

を用いればよいことになる．

　以上のことから，

　　Ｋ（ｎ×２ｍ）

　＝Π(k=1~m)Π(l=1~[(n+1)/2]｛４ｃｏｓ^2（ｌπ／（ｎ＋１））＋４ｃｏｓ^2（ｋπ／（２ｍ＋１））｝

　＝２^2m[(n+1)/2]Π(k=1~m)Π(l=1~[(n+1)/2]｛ｃｏｓ^2（ｌπ／（ｎ＋１））＋ｃｏｓ^2（ｋπ／（２ｍ＋１））｝

と考えられるのである．１が消えた理由を無理矢理こじつけたようであるが，・・・

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