■フラクタルな構造(その26)

ペンタフレークは正五角形を組み合わせたフラクタルです。一つの正五角形と辺を共有するように、5つの正五角形を並べ、それを再帰的に繰り返します。

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辺長1の正五角形の面積はS=(5cot36)/4

正五角形と辺を共有するように、5つの正五角形を並べると大五角形の1辺は2+2sin18で、

二等辺三角形の隙間が5か所、その面積の合計は5sin18cos18

トータルで、S・(2+2sin18)^2-5sin18cos18

周長は20となります。

これを逆に見れば1辺(2+2sin18)=2+(φ−1)=(φ+1)=φ^2の正五角形の面積S・(2+2sin18)^2が6sになる

6/φ^4=6(−3φ+5)=0.876

これを繰り返すことにより得られるオブジェの面積は小さくなり、無限回繰り返した極限において0になる

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  φ^-4=−3φ+5、 √5φ^-4=7φ−11

  φ^-3=2φ−3、 √5φ^-3=-4φ+7

  φ^-2=−φ+2、 √5φ^-2=3φ−4

  φ^-1=φ−1、 √5φ^-1=−φ+3

  φ^0=1、 √5φ^0=2φ−1

  φ^1=φ、 √5φ^1=φ+2

  φ^2=φ+1、 √5φ^2=3φ+1

  φ^3=2φ+1、 √5φ^3=4φ+3

  φ^4=3φ+2、 √5φ^4=7φ+4

  φ^5=5φ+3、 √5φ^5=11φ+7

  φ^6=8φ+5、 √5φ^6=18φ+11

 右辺mφ+nの係数m,nはフィボナッチ数列をなす.

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ペンタフレークにはいくつかのバリエーションがあり

これを逆に見れば1辺(2+2sin18)=2+(φ−1)=(φ+1)=φ^2の正五角形の面積S・(2+2sin18)^2が5sになるもの

5/φ^4=5(−3φ+5)=0.73

これを逆に見れば1辺(2+2sin18)=2+(φ−1)=(φ+1)=φ^2の正五角形の面積S・(2+2sin18)^2が(5+φ^2/4)sになるもの

(5+φ^2/4)/φ^4=5/φ^4+1/(4φ^2)=5/φ^4+(2-φ)/4=0.73+0.0955=.8255

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正六角形では隙間がなくなり、正七角形では重複を生じるから、n角形には一般化できないが、n曜星に一般化することは可能である

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