■高次元の結晶構造(その9)

【1】第2種スターリング数

 ここでは,n個の数字を3つのグループA,B,Cに分ける方法の総数で,ただし,各グループA,B,Cは少なくとも1つの数字を含むものとします.

 もっと一般に,1≦k≦nとし,n個の数字をk個のグループに分ける方法の総数で,ただし,各グループは少なくとも1つの数字を含むものの数をnSkとします.

 nSkは第2種スターリング数と呼ばれるもので,漸化式

  n+1Sk=nSk-1+knSk

が成り立ちます.

 nS1=1を出発点として

  nS2=2^n-1−1

  nS3=3^n-1/2−2^n-1+1/2

  nS4=4^n-1/6−3^n-1/2+2^n-2−1/6

 一般項は

  nSk=1/k!Σ(−1)^k-jkCjj^n

となります.以下,

  nS5=(5^n−5・4^n+10・3^n−10・2^n+5)/5!

  nS6=(6^n−6・5^n+15・4^n−20・3^n+15・2^n−6)/6!

と続く.

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【2】原始的平行多面体のk次元面数公式

 n個をk個の区別のあるコンパートメントに分ける場合の数は

  nTk=Σ(−1)^k-jkCjj^n

 これはすべてのコンパートメントに少なくとも1つは属するように分けるという意味です.包除原理を使って証明することができます.原始的平行多面体のk次元面数公式にも出てきます.

 nSkは第2種スターリング数と呼ばれるもので,漸化式

が成り立ちます.

  n+1Sk=nSk-1+knSk

  nTk=k!・nSk

ですから

  k!・n+1Sk=n+1Tk

  k!・nSk-1=knTk-1

  k!・nSk=nTk

  n+1Tk=knTk-1+knTk

 nT1=1を出発点として

  nT2=2^n−2

  nT3=3^n−3・2^n+3

  nT4=4^n−4・3^n+6・2^n−4

  nT5=(5^n−5・4^n+10・3^n−10・2^n+5)

  nT6=(6^n−6・5^n+15・4^n−20・3^n+15・2^n−6)

  nTn=Σ(−1)^n-jnCjj^n={n!−・・3^nnC2・・2^nnC2・・nC1}

 原始的平行多面体では

  f0=(n+1)!

  f1=n/2・f0

  fn-1=2(2^n−1)

ですから

  fn-1=n+1T2

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[まとめ]パラメータがずれているようである.

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