［１］ミンコフスキー結晶

　　（３，３｝（１１１）

　　（３，３，３｝（１１１１）

　　（３，３，３，３｝（１１１１１）

　　（３，３，３，３，３｝（１１１１１１）

　すなわち，正単体系の置換多面体で，ファセット数２（２^n−１）の結晶である．すなわち，２次元では６角形，３次元では切頂八面体，４次元では３０胞体，５次元では６２胞体となる．これらと同じｆベクトルをもつ異なる多胞体は存在しない．

　なお，このｆベクトルはnＴkを使って表すことができる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［１］ｎ個をｋ個の区別のあるコンパートメントに分ける場合の数は

　　nＴk＝Σ（−１）^k-jkＣjｊ^n

　これはすべてのコンパートメントに少なくとも１つは属するように分けるという意味です．包除原理を使って証明することができます．原始的平行多面体のｋ次元面数公式にも出てきます．

［２］ｎ個をｋ個の区別のないコンパートメントに分ける場合の数は

　　nＳk＝１／ｋ！・Σ（−１）^k-jkＣjｊ^n

　これは［１］をｋ！で割ったものです（スターリング数）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝