■高次元の結晶構造(その8)

[1]ミンコフスキー結晶

  (3,3}(111)

  (3,3,3}(1111)

  (3,3,3,3}(11111)

  (3,3,3,3,3}(111111)

 すなわち,正単体系の置換多面体で,ファセット数2(2^n−1)の結晶である.すなわち,2次元では6角形,3次元では切頂八面体,4次元では30胞体,5次元では62胞体となる.これらと同じfベクトルをもつ異なる多胞体は存在しない.

 なお,このfベクトルはnTkを使って表すことができる.

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[1]n個をk個の区別のあるコンパートメントに分ける場合の数は

  nTk=Σ(−1)^k-jkCjj^n

 これはすべてのコンパートメントに少なくとも1つは属するように分けるという意味です.包除原理を使って証明することができます.原始的平行多面体のk次元面数公式にも出てきます.

[2]n個をk個の区別のないコンパートメントに分ける場合の数は

  nSk=1/k!・Σ(−1)^k-jkCjj^n

 これは[1]をk!で割ったものです(スターリング数)

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