■相転移の幾何学(その17)

 係数が3で割り切れないとき場合にそのセルを黒くする,係数が4で割り切れないとき場合にそのセルを黒くする,係数が5で割り切れないとき場合にそのセルを黒くする,・・・という作業を続けてた場合も左右対称なモザイク模様が現れる.(その12)の続き.

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 パスカルの三角形を作るのは簡単で,第1列に1,第2列に11を入れる.それ以降は列の両端には1を入れ,両端以外はすぐ上にある2つの数の和とする.この三角形を作る作業は再帰的で,フィボナッチ数列を作るときとまったく同じ規則を反復的に実行する.

 奇数のマスをすべて黒く塗りつぶす.偶数のマスはすべて白いままで残す.するとシェルピンスキーの三角形そのものになる.中央に位置する白い三角形は1マス→6マス→28マス→120マス→496マス→2^k(2^k−1)/2マスを占める.

 3で割り切れる数をすべて白く残し,それ以外を黒く塗りつぶす.中央に位置する白い三角形は1マス→36マス→・・・を占める.

 4で割り切れる数をすべて白く残し,それ以外を黒く塗りつぶす.中央に位置する白い三角形は1マス→1マス→6マス→・・・を占める.

 5で割り切れる数をすべて白く残し,それ以外を黒く塗りつぶす.中央に位置する白い三角形は10マス→10マス→・・・を占める.

 いずれの場合も全体の三角形とは逆向きの三角形からなる対称なパターンが現れる.

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