ワイエルシュトラスのペー関数の加法公式には重要な幾何学的解釈がある．

　ｐ（ｚ1＋ｚ2）＝－ｐ（ｚ1）－ｐ（ｚ2）＋１／４・｛（ｐ’（ｚ1）－ｐ’（ｚ2））／）ｐ（ｚ1）－ｐ（ｚ2））｝^2

　ｐ（ｚ1）＋ｐ（ｚ2）＋ｐ（ｚ1＋ｚ2）＝１／４・｛（ｐ’（ｚ1）－ｐ’（ｚ2））／（ｐ（ｚ1）－ｐ（ｚ2））｝^2

ａ＝｛（ｐ’（ｚ1）－ｐ’（ｚ2））／）ｐ（ｚ1）－ｐ（ｚ2））｝

ｂ＝｛（ｐ（ｚ1）ｐ’（ｚ2）－ｐ’（ｚ1）ｐ（ｚ2））／（ｐ（ｚ1）－ｐ（ｚ2））｝

ｘ1＝ｐ（ｚ1），ｘ2＝ｐ（ｚ2），ｘ3＝ｐ（ｚ1＋ｚ2）

（ａｘ＋ｂ）^2＝４ｘ^2－ｇ2ｘ－ｇ3の３根は

ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＝ａ^2／４

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［１］ｐ（ω1）＝ｅ1，ｐ｛（ω1＋ω2）／２｝＝ｅ2，ｐ（ω2）＝ｅ3とする．ｐ（ｕ）＝ｅ1またはｅ2またはｅ3のとき，ｐ’（ｕ）＝０

ｐ’（ｕ）^2＝（ｐ（ｕ）－ｅ1）（ｐ（ｕ）－ｅ2）（ｐ（ｕ）－ｅ3）

［２］ｐ’（ｕ）＝ｐはｐ’^2＝４ｐ^3－ｇ2ｐ－ｇ3を満たす．

４ｘ^3－ｇ2ｘ－ｇ3＝（ｘ－ｅ1）（ｘ－ｅ2）（ｘ－ｅ3）

［３］判別式△＝１６（ｅ1－ｅ2）^2（ｅ1－ｅ3）^2（ｅ2－ｅ3）^2

ｅ1＋ｅ2＋ｅ3＝０

ｅ1ｅ2＋ｅ2ｅ3＋ｅ3ｅ1＝－１／４・ｇ2

ｅ1ｅ2ｅ3＝１／４・ｇ3

△＝ｇ2^3－２７ｇ3^2

［４］代数的加法性をもつことを示すために

　　ｆ（ｕ）＝ｐ’（ｕ）－ａｐ（ｕ）－ｂ

　　ｆ（ｕ1）＝ｆ（ｕ2）＝０

　　Ｐ（ｕ1）＝Ｐ1，Ｐ（ｕ2）＝Ｐ2

　　Ｐ’（ｕ1）＝Ｐ1’，Ｐ（ｕ2）＝Ｐ2’とおく．

　　ａＰ1＋ｂ＝Ｐ1’，ａＰ2＋ｂ＝Ｐ2’が成立する．

ここで，

　　Ｐ（ｕ1＋ｕ2）＝Ｐ3，Ｐ’（ｕ1＋ｕ2）＝Ｐ3’とおけば

ｐ’（ｕ）が奇関数であることから

　　ａＰ3＋ｂ＝－Ｐ3’

　　４ｐ’^2＝ｐ^3－ｇ2ｐ－ｇ3を用いれば，

　　（ａｘ＋ｂ）^2＝ｐ^3－ｇ2ｐ－ｇ3

はｘ＝Ｐ1，ｘ＝Ｐ2ｘ＝Ｐ2を解にもつ．

Ｐ1＋Ｐ2＋Ｐ3＝ａ^2／４

Ｐ1Ｐ2＋Ｐ1Ｐ3＋Ｐ2Ｐ3＝－ａｂ／２－ｇ2／４

Ｐ1Ｐ2Ｐ3＝ｂ^2／４＋ｇ3／４

ａ＝（Ｐ1’－Ｐ2’）／（Ｐ1－Ｐ2）

ｂ＝（Ｐ1Ｐ2’－Ｐ1’Ｐ2）／（Ｐ1－Ｐ2）

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　ｐ（ｕ1＋ｕ2）＝－ｐ（ｕ1）－ｐ（ｕ2）＋１／４・｛（ｐ’（ｕ1）－ｐ’（ｕ2））／（ｐ（ｕ1）－ｐ（ｕ2））｝^2

が成り立つ．

　　Ｐ（ｕ1）＝Ｐ1，Ｐ（ｕ2）＝Ｐ2，Ｐ（ｕ1＋ｕ2）＝Ｐ3に対して

（Ｐ1＋Ｐ2＋Ｐ3）（４Ｐ1Ｐ2Ｐ3－ｇ3）＝（Ｐ1Ｐ2＋Ｐ1Ｐ3＋Ｐ2Ｐ3＋ｇ2／４）^2

が成り立つ．

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