レムニスケートサインとワイエルシュトラスのペー関数の関係は，

　　ｓｌ（ｚ）＝−２ｐ1（ｚ）／ｐ1’（ｚ）

　　ｓｌ’（ｚ）＝（４ｐ1（ｚ）^2−１）／（４ｐ1（ｚ）^2＋１）

　ワイエルシュトラスのペー関数ｐ（ｕ）を単にｐと略記する．

［１］微分方程式

　　（ｐ’）^2＝４ｐ^3−ｇ2ｐ−ｇ3

　　ｐ”＝６ｐ^2−ｇ2／２

　　ｐ^(3)＝１２ｐｐ’

　　ｐ^(4)＝１２０ｐ^3−１８ｇ2ｐ−１２ｇ3

［２］加法定理

　　ｐ（２ｕ）＝−２ｐ（ｕ）＋１／４｛ｐ”（ｕ｝／ｐ’（ｕ｝｝^2

　＝−２ｐ＋１／４・（６ｐ^2−ｇ2／４）^2／（４ｐ^3−ｇ2ｐ−ｇ3）

　＝（ｐ^4＋ｇ2ｐ^2／２＋２ｇ3ｐ＋ｇ2^2／１６）／（４ｐ^3−ｇ2ｐ−ｇ3）

［参］フルヴィッツ・クーラント「楕円関数論」シュプリンガー・フェアラーク東京

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［１］楕円関数ｆ（ｕ）が偶関数ならば，ｆはｐの有理関数で表される．

［２］楕円関数ｆ（ｕ）が奇関数ならば，ｆはｐの有理関数とｐ’の積で表される．

［３］楕円関数ｆ（ｕ）は

　　　ｆ＝Ｒ（ｐ）＋ｐ’Ｒ’（ｐ）

と表される．

［４］ｐの高次導関数はこれらの定理の例になっていて，一般に，ｐ^(2n)はｐの有理整式，ｐ^(2n+1)はｐの有理整式とｐ’の積として表される．

　　ｐ^(2n)＝Ｒn（ｐ），ｐ^(2n+1)＝Ｒn’（ｐ）ｐ’

と書くことにすると，

　　ｐ”＝６ｐ^2−ｇ2／２

　　ｐ^(2n+2)＝Ｒn’（ｐ）ｐ”＋Ｒn”（ｐ）（ｐ’）^2＝Ｒn+1（ｐ）

したがって，

　　Ｒn+1（ｐ）＝Ｒn’（ｐ）（６ｐ^2−ｇ2／２）＋Ｒn”（ｐ）（４ｐ^3−ｇ2ｐ−ｇ3）

　この操作をＲ1から始めて繰り返せば

　　ｐ^(2n)＝Ｒn（ｐ）＝（２ｎ＋１）！ｐ^n+1＋・・・

すなわち，Ｒn（ｐ）はｐのｎ＋１次多項式である．

［５］ｐの加法定理もこれらの定理の例になっていて，ｐ（ｎｕ）は偶関数なので，ｐの有理関数である．

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【１】∫1/(1-x^4)^(1/2)dx

　ここで，レムニスケートの４半弧を定規とコンパスで２等分できることを示すために

　　ｐ（２ｕ）＝（ｐ^4＋２ｐ^2＋１）／（４ｐ^3−４ｐ）

において，ｐ（ｕ）＝ｐ，ｐ（２ｕ）＝１とおくことにします．すると，

　　（ｐ^4＋２ｐ^2＋１）＝（４ｐ^3−４ｐ）

より，ｐ=1+√2=ｚ

　　ｘ＝１／√ｚ＝(-1+√2)^1/2=0.643594

　(-1+√2)^1/2は四則演算および平方根により得られますので，円同様，レムニスケートの４半弧も定規とコンパスだけで弧長を１／２倍にする作図が可能であることを示しています．

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【２】∫1/(1-x^6)^(1/2)dx

　　ｐ（２ｕ）＝（ｐ^4＋８ｐ）／（４ｐ^3−４）＝１

より，ｐ=1+√3=ｚ

　　ｘ＝１／√ｚ＝((-1+√3)/2)^1/2

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