■楕円曲線の群構造(その22)

 f(z)=p(z)−1/z^2=Σ{1/(z−ω)^2−1/ω^2}

とおく.

 原点近傍では

 1/(z−ω)^2−1/ω^2

=1/ω^2{1+2z/ω+3(z/ω)^2+4(z/ω)^4+・・・}2−1/ω^2

=1/ω^2{2z/ω+3(z/ω)^2+4(z/ω)^4+・・・}

 Ek(τ)=Σ1/ω^k

とおくと,奇数k≧3に対してEk(τ)=0であるから

 p(z)=1/z^2+3E4(τ)z^2+5E6(τ)z^4+7E8(τ)z^6+・・・

とローラン展開されることがわかる.

 f(0)=0より

  p’(z)^2=4p(z)^4+g2(τ)p(z)+g3(τ)

  g2(τ)=60Σ1/ω^4,g3(τ)=240Σ1/ω^6

が成り立つことが証明される.

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【2】ワイエルシュトラスのペー関数の加法公式

 p(z1+z2)=−p(z1)−p(z2)+1/4・{(p’(z1)−p’(z2))/)p(z1)−p(z2))}^2

 p(z1)+p(z2)+p(z1+z2)=1/4・{(p’(z1)−p’(z2))/(p(z1)−p(z2))}^2

a={(p’(z1)−p’(z2))/)p(z1)−p(z2))}

b={(p(z1)p’(z2)−p’(z1)p(z2))/(p(z1)−p(z2))}

x1=p(z1),x2=p(z2),x3=p(z1+z2)

(ax+b)^2=4x^2−g2x−g3の3根は

x1+x2+x3=a^2/4

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