ｆ（ｚ）＝ｐ（ｚ）−１／ｚ^2＝Σ｛１／（ｚ−ω）^2−１／ω^2｝

とおく．

　原点近傍では

　１／（ｚ−ω）^2−１／ω^2

＝１／ω^2｛１＋２ｚ／ω＋３（ｚ／ω）^2＋４（ｚ／ω）^4＋・・・｝2−１／ω^2

＝１／ω^2｛２ｚ／ω＋３（ｚ／ω）^2＋４（ｚ／ω）^4＋・・・｝

　Ｅk（τ）＝Σ１／ω^k

とおくと，奇数ｋ≧３に対してＥk（τ）＝０であるから

　ｐ（ｚ）＝１／ｚ^2＋３Ｅ4（τ）ｚ^2＋５Ｅ6（τ）ｚ^4＋７Ｅ8（τ）ｚ^6＋・・・

とローラン展開されることがわかる．

　ｆ（０）＝０より

　　ｐ’（ｚ）^2＝４ｐ（ｚ）^4＋ｇ2（τ）ｐ（ｚ）＋ｇ3（τ）

　　ｇ2（τ）＝６０Σ１／ω^4，ｇ3（τ）＝２４０Σ１／ω^6

が成り立つことが証明される．

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【２】ワイエルシュトラスのペー関数の加法公式

　ｐ（ｚ1＋ｚ2）＝−ｐ（ｚ1）−ｐ（ｚ2）＋１／４・｛（ｐ’（ｚ1）−ｐ’（ｚ2））／）ｐ（ｚ1）−ｐ（ｚ2））｝^2

　ｐ（ｚ1）＋ｐ（ｚ2）＋ｐ（ｚ1＋ｚ2）＝１／４・｛（ｐ’（ｚ1）−ｐ’（ｚ2））／（ｐ（ｚ1）−ｐ（ｚ2））｝^2

ａ＝｛（ｐ’（ｚ1）−ｐ’（ｚ2））／）ｐ（ｚ1）−ｐ（ｚ2））｝

ｂ＝｛（ｐ（ｚ1）ｐ’（ｚ2）−ｐ’（ｚ1）ｐ（ｚ2））／（ｐ（ｚ1）−ｐ（ｚ2））｝

ｘ1＝ｐ（ｚ1），ｘ2＝ｐ（ｚ2），ｘ3＝ｐ（ｚ1＋ｚ2）

（ａｘ＋ｂ）^2＝４ｘ^2−ｇ2ｘ−ｇ3の３根は

ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＝ａ^2／４

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