１９７０年代，フェルマーの問題を征するために必要となるのが楕円曲線であることが明らかになりました．楕円曲線には，楕円曲線と三点で交わる直線で，そのうちの二つの交点の座標がわかれば他の一点の座標も計算でき，二つの点の座標が有理数ならば，他の一点の座標も有理数であるなどの性質をもっています．

　ところで，楕円曲線：ｙ^2＝ｘ^3＋１には無限に多くの整数点があるでしょうか，あるいは一つでも整数点はあるでしょうか．実は，これには整数点は（２，±３），（０，±１），（−１，０）の５つしかありません．また，この楕円曲線には有理点もやはりこの５つしかないのです．また，ｙ^2＝ｘ^3−２は（３，±５）以外の整数点をもちませんが，無数に有理点が得られます．

　一般に，ｙ^2＝ｘ^3−ａには有限個の整数解しかないのですが，たとえば，ａ＝−７に対しては１つも整数解がありません．また，ａ≠−１，４３２ならば曲線上には無限個の有理点があることがわかっています．これらは上記の性質に拠っているのです．

　ａ＞０として，虚２次体Ｑ（√−ａ）の整数論を用いて，ｙ^2＝ｘ^3−ａの整数解について以下の定理が成り立つ．

［参］青木昇「素数と２次体の整数論」共立出版

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【１】ｙ^2＝ｘ^3−ａの整数解

［定理］ａは平方因子をもたない，

　　ａ≠７　　（ｍｏｄ８）

　　虚２次体Ｑ（√−ａ）の類数は３で割れないとき，ｙ^2＝ｘ^3−ａが整数解をもつのは，任意の整数ｕとｅ＝±１に対して，

［１］ａ＝３ｕ^2＋ｅ，（ｘ，ｙ）＝（３ｕ^2＋ｅ，ｕ（８ｕ^2＋３ｅ））

［２］ａ＝３ｕ^2＋８ｅ，（ｘ，ｙ）＝（３ｕ^2＋２ｅ，ｕ（ｕ^2＋３ｅ））

のいずれかの場合に限る．

［例］ａ＝１１，ｕ＝２，ｅ＝１→（ｘ，ｙ）＝（３，±４）

　　　ａ＝１１，ｕ＝１，ｅ＝１→（ｘ，ｙ）＝（１５，±６４）

　ａ＝１，ｕ＝０，ｅ＝１→（ｘ，ｙ）＝（１，０）に限る．

　ａ＝２，ｕ＝０，ｅ＝−１→（ｘ，ｙ）＝（３，±５）に限る．

　ａ＝３，どのような整数ｕをとっても３＝３ｕ^2±１，３＝３ｕ^2±８とはならない→整数解をもたない．

［注］ａ＝７（ｍｏｄ８）のときは［１］［２］以外の解があり得る．たとえば

　ａ＝１５→（ｘ，ｙ）＝（４，７）

　ａ＝２３→（ｘ，ｙ）＝（３，２）

　ａ＝２，ｕ＝０，ｅ＝−１→（ｘ，ｙ）＝（３，±５）に限る．

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