■楕円曲線の群構造(その5)

  y^2=x^3+1,P(2,3)はこの楕円曲線上の点である.しかし,ここでは,有限体F5上で考えることにする.

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  2^2=2^3+1,4=9  (mod5)

であるから,P(2,2)はこの楕円曲線上の点である.

[1]2P

 倍角公式にP(2,2),a=0,b=1を代入すると

  x3=(x1^4−2ax1^2−8bx1+a^2)/4(x1^3+ax1+b)

=0

  y3={(3x1^2+a)/2y1}(x1−x3)−y1

=(12/4)(2−0)−2=4 → 2P(0,4)

[2]3P=2P+P,(0,4),(2,2)

  x3={(y2−y1)/(x2−x1)}^2−x1−x2

  x3={2/2}^2−2=−1

  y3={(y2−y1)/(x2−x1)}(x1−x3)−y1

  y3={−2/2}(1)−4=−5 → 3P(4,0)

[3]4P=3P+P,(4,0),(2,2)

  x3={(y2−y1)/(x2−x1)}^2−x1−x2

  x3={−2/2}^2−4−2=−5

  y3={(y2−y1)/(x2−x1)}(x1−x3)−y1

  y3={−2/2}(9)=−9 → 4P(0,1)

[4]5P=4P+P,(0,1),(2,2)

  x3={(y2−y1)/(x2−x1)}^2−x1−x2

  x3={1/2}^2−2=1/4−2

  y3={(y2−y1)/(x2−x1)}(x1−x3)−y1

  y3={1/2}(2−1/4)−1=−1/8

  4x=1   (mod5)→x=4

  8x=−1  (mod5)→x=3 → 5P(2,3)

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