楕円曲線とは

a5y^2+a6xy+a7y=a1x^3+a2x^2+a3x+a4

と書ける平面代数曲線である。

X^3+Y^3=1はこのままでは楕円曲線とはいえいないが、楕円曲線y^2=x^3-432にうつすことができる

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X=(36+y)/6x,Y=(36-y)/6xとおくと

X^3+Y^3-1=(432+y^2-x^3)/x^3=0

逆に

x=12/(X+Y),y=36(x-y)/(X+Y)とおくと

432+y^2-x^3=x^3(X3+Y^3-1)=0

これらは有理点を有理点にうつす

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a5y^2+a6xy+a7y=a1x^3+a2x^2+a3x+a4における加法

[1]P=(x,y)

[2]Pを通りｙ軸と平行な直線との交点を-P=(x,-(a6x+a7)/a5-y)・・・a6=a7=0ならば-P=(x,-y)

[3]直線PQとの交点をP・Q

[4]-P・Q=P+Qとおく

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[Q]y^2=x^3-4上の２点P(2--2),Q=(5,11)に対し、P+Q?,P+P=2P?

PQ:y=13x/3-32/3

代入すると3次方程式→x=2,5,根と係数との関係からもう一つの根はx=106/9

P・Q=(106/9,1090/27)

P+Q=(106/9,-1090/27)

Pにおける接線の傾きは-3であるからy=-3x+4

代入すると3次方程式→x=2,2,5

P・P=(5,-11)

P+P=(5,11)

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