ｎ角形（ｎ＞３）の各頂点にハトメがついているとしたら，その多角形は容易に変形するのですが，それに対して三角形は実に頑丈で安定しています．多角形は筋交いを入れて三角形に分割する補強をしないと堅牢な構造にはなりません．

　それでは三角形の面だけでできている多面体で，多面体の辺が蝶番でつながれているとしたら，その立体は辺の長さを変えずに変形できるでしょうか？　（面には堅い板が使われていてまったく曲がらない，変化するのは面同士の角度だけものとする．）

　コーシーの剛性定理（１８１３年）より凸多面体は変形しないのですが，凸でない場合は変形する可能性があります．また，折り曲げ可能多面体が（面の形を変えずに）変形しても体積は変わらないことが証明されています（１９９７年，コネリー，ワルツ，サビトフ）．つまり形状の変わる多面体では体積は変化しないのでふいごは風を送れない，ふいごとして使えないという定理です．

　しかし，アコーディオンの蛇腹が変形すると音がでるわけで，この一見すると矛盾する事実は，それぞれの面が完全な剛性をもつ板であることを想定しているからです（アコーディオンの蛇腹は少したわむので演奏できるのだ）．なお，２次元ではハトメのついた長方形を平行四辺形に変形させると面積は小さくなりますから，この定理は明らかに３次元空間の特別な性質といえるでしょう．

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【１】筋交い問題

　正方形の格子（たとえば３×３格子）からなる構造物を考える．辺は鋼材でできていて剛であるが，連結部はピン・ジョイントで柔軟である．そのため，構造物全体としては剛ではない．

　すべての格子に筋交いを入れて三角形に分割する補強をすれば堅牢な構造になるが，それでは費用が高くつく．ここでの関心は，この構造物を補強して剛にするのにできる限り少ない数の筋交いを入れることである．

　答を先にいうと３×３格子の場合の最少筋交い数は５である．６や７では多すぎ（冗長）だが，４では少なすぎ，すなわち筋交いを１カ所取り除くと構造物の剛性が損なわれてしまう．

［Ｑ］一般に，ｎ×ｍ格子の最少筋交い数はいくつになるだろうか？　また，筋交いをどこに配置すべきか？

［Ａ］格子の補強は完全２部グラフＫn,mのサブグラフとして表現することができる．そして，

［定理１］サブグラフが互いに連結されている場合（かつその場合に限り）剛である．

［定理２］サブグラフが木である場合（回路を持たない場合）（かつその場合に限り）最少である．

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【２】冗長性

　木グラフの頂点と辺の関係は

　　ｖ−ｅ＝１

で与えられる．また，ｖ＝ｎ＋ｍであるから，最少筋交い数は

　　ｎ＋ｍ−１

であり，それを越える場合はいくつかの筋交いを削除することが常に可能である．

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