■ｎ軸構造（その２１）
ロンスデール石は１９６７年，アリゾナにある隕石の落下地点で初めて発見された希少な結晶である．同年に人工的に合成することに成功したこの結晶の名前は英国の結晶学者ロンスデールに因んでいる．
ロンスデール格子を真横からみるとダイヤモンドと変わりがないが，真上からみると蜂の巣状に見える．そのため，六方晶ダイヤモンド（hexagonal dismond）という呼び名もある．ロンスデール格子はグラファイトに似たところがあり，隕石孔のみから発見されることより衝突下の高温高圧によりグラファイト構造を保ちつつ変性したものがロンスデール石であると考えられる．また，ロンスデール石と同じものは１９６７年よりかなり前から人工ダイヤモンド生成過程で微細な結晶として得られていたはずであると考えられている．
（その２）において，ロンスデール石はダイヤモンド（モース硬度１０）よりも柔らかく，そのモース硬度は７〜８であることが知られていると書いた．ダイヤモンドではすべての六角形がイス型立体配置であったのに対し，ロンスデール石では舟型立体配置が存在する．舟型立体配置はイス型立体配置に較べ構造不安定であるといのがその理由である．
しかし，Wikipediaによると，この硬度の低さは主として不純物や格子欠陥によるものと見られ，純粋なロンスデール石ではダイヤモンドより５８％も硬いと予想されているとのことである．
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【１】六角形で球面が覆えるか？
各細胞が同一の辺をもち，各頂点に同一数の辺が会するとき，「正則地図」と呼ばれる．正多面体は正則地図になる．ここでは各頂点に３本の辺が会する正則な六角形の正則地図で球面を覆うことができるだろうか？
この不可能性を証明することは易しい．そういう地図があると仮定する．各面は６本の辺と６個の頂点をもつ．各頂点には３面が会するからｖ＝６ｆ／３．各辺は２面に共有されるから，ｅ＝６ｆ／２．
これをオイラーの多面体定理：ｖ−ｅ＋ｆ＝２に代入すると
６ｆ／３−６ｆ／２＋ｆ＝０＝２
となって矛盾．したがって，最初の仮説が誤りである．
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【２】オイラーの多面体定理
３次元凸多面体の頂点，辺，面の数をそれぞれｖ，ｅ，ｆとすると，
ｖ−ｅ＋ｆ＝２ （オイラーの多面体定理）
が成り立ちます．これは３次元立体について，０次元の特性数であるｖ，１次元の特性数であるｅ，２次元の特性数であるｆの関係を述べたものと解釈され，最も美しい数学の１０大定理の１つに挙げられるものです．
また，正則な多面体とはその面が正多角形で，どの面にも同じ数の面が集まっている凸多面体のことで，正多面体では
ｐｆ＝２ｅ，ｑｖ＝２ｅ
でしたが，正則とは限らない一般の多面体では
Σｐi＝ｐ1＋・・・＋ｐf＝２ｅ，
Σｑi＝ｑ1＋・・・＋ｑv＝２ｅ
となります．
オイラーの多面体定理は，８個の凸なデルタ多面体が存在することの証明の基礎にもなります．デルタ多面体では，ｐi＝３，３≦ｑi≦５ですから
３ｆ＝２ｅ （ｆは偶数）
３ｖ≦２ｅ≦５ｖ
これをオイラーの多面体定理
ｖ−ｅ＋ｆ＝２
に代入すると
６≦ｅ≦３０
これより
４≦ｆ≦２０，（３≦ｖ≦２０）
が得られます．３ｆ＝２ｅよりｆは偶数ですから，４面体から２０面体までの偶数多面体がデルタ多面体の候補となります．
ｆ ｅ ｖ
４ ６ ４
６ ９ ５
８ １２ ６
１０ １５ ７
１２ １８ ８
１４ ２１ ９
１６ ２４ １０
１８ ２７ １１
２０ ３０ １２
３次元では，オイラーの多面体公式
ｖ−ｅ＋ｆ＝２
以外に
ｆ≦２ｖ−４，ｖ≦２ｆ−４
を満たせばよいことが証明されています（シュタイニッツ，１９０６年）．デルタ多面体では，これ以上面数ｆを大きくできないという
ｆ≦２ｖ−４
の上限に達していることも理解されます．
なお，これらの式の頂点ｖと面ｆの対称性により，ｆ面凸多面体とｖ点凸多面体は同数になるのですが，「４面体は４つの頂点と４つの面から構成されるので，頂点数を加えていうと，４点４面体である．５面体には４角錐（５点５面体）と３角柱（６点５面体）がある．６面体には５点６面体が１種類，６点６面体，７点６面体，８点６面体が２種類ずつの合計７種類ある．以下，７面体には３４種類，８面体には２５７種類，９面体には２６６種類ある．
見方を変えて，凸多面体を頂点数で分類すると，４点多面体は１種類，５点多面体は２種類，６点多面体は７種類，７点多面体は３４種類，８点多面体は２５７種類，９点多面体は２６６種類，１０点多面体は３２３００種類ある．」・・・両者で同じ数値が出現していることに気づかれたかと思います．
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【３】もっと驚くべき定理
球を六角形でタイル貼りすることができないこと以上に驚くべきことがわかる．もし球を５角形と六角形からなる地図で敷き詰めたならば，サッカーボールのようにちょうど１２個の５角形がなければならないというものである．
（その５）では，五角形と六角形からなる多面体には五角形が常に１２個あることを証明した．
（Ｑ）五角形と六角形からなる多面体には五角形が常に１２個ある．
（Ａ）オイラーの多面体定理で示される制限からいえることとして，
ｖ−ｅ＋ｆ＝２，２ｅ≧３ｆ，２ｅ≧３ｖ
を組み合わせると，
２ｖ＋２ｆ＝２ｅ＋４≧３ｆ＋４ → ｆ≦２ｖ−４
２ｖ＋２ｆ＝２ｅ＋４≧３ｖ＋４ → ｖ≦２ｆ−４
また，別の組合せ方をすると，
３ｖ＋３ｆ＝３ｅ＋６≦２ｅ＋３ｆ → ３ｆ−ｅ≧６
３ｖ＋３ｆ＝３ｅ＋６≧２ｅ＋３ｖ → ３ｖ−ｅ≧６
ｎ本の辺をもつｆn枚の面とｎ本の辺が交わるｖn個の頂点をもつ凸多面体について，
Ｆ＝ｆ3＋ｆ4＋ｆ5＋・・・
２Ｅ＝３ｆ3＋４ｆ4＋５ｆ5＋・・・
６Ｆ−２Ｅ≧１２
に代入すると
３ｆ3＋２ｆ4＋ｆ5−ｆ7−２ｆ8−３ｆ9−・・・≧１２
地図のように２つの辺に囲まれた領域まで許すことにすると，この数え上げ公式は
４ｆ2＋３ｆ3＋２ｆ4＋ｆ5−ｆ7−２ｆ8−３ｆ9−・・・＝１２
となり，係数が１ずつ小さくなり，それが０となるｆ6は式中に現れない．
ここで，
(1)ｆ2＝ｆ3＝ｆ4＝０だとすると，少なくとも１２個のｆ5がなければならないことになる
(2)多面体の面がすべてｆ5とｆ6であるならば，ｆ5＝１２（切頂二十面体）
(3)多面体の面がすべてｆ4とｆ6であるならば，ｆ4＝６（切頂八面体）
(4)多面体の面がすべてｆ4，ｆ6，ｆ8であるならば，ｆ4＝ｆ8＋６（斜方切頂立方八面体）
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【４】さらなる帰結
(5)多面体の面がすべてｆ3とｆ6であるならば，ｆ3＝４
すなわち，球面を六角形と三角形で覆うとしたら，ちょうど４個の三角形が必要である．
一般に，球面を六角形とｎ角形で覆うとしたら，ちょうどｋ＝１２／（６−ｎ）個のｎ角形が必要である．
(6)多面体の面がすべてｆ4とｆ6であるならば，ｆ4＝６
(7)多面体の面がすべてｆ5とｆ6であるならば，ｆ5＝１２
ｎ＝３，４，５のとき，
ｋ＝１２／（６−ｎ）＝４，６，１２
であるが，これは正多面体の面数と同じである．
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