五角形と六角形からなる多面体には五角形が常に１２個あることを証明した．

（証）オイラーの多面体定理で示される制限からいえることとして，

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２，２ｅ≧３ｆ，２ｅ≧３ｖ

を組み合わせると，

　　２ｖ＋２ｆ＝２ｅ＋４≧３ｆ＋４　→　ｆ≦２ｖ−４

　　２ｖ＋２ｆ＝２ｅ＋４≧３ｖ＋４　→　ｖ≦２ｆ−４

また，別の組合せ方をすると，

　　３ｖ＋３ｆ＝３ｅ＋６≦２ｅ＋３ｆ　→　３ｆ−ｅ≧６

　　３ｖ＋３ｆ＝３ｅ＋６≧２ｅ＋３ｖ　→　３ｖ−ｅ≧６

　ｎ本の辺をもつｆn枚の面とｎ本の辺が交わるｖn個の頂点をもつ凸多面体について，

　　Ｆ＝ｆ3＋ｆ4＋ｆ5＋・・・

　　２Ｅ＝３ｆ3＋４ｆ4＋５ｆ5＋・・・

　　６Ｆ−２Ｅ≧１２

に代入すると

　　３ｆ3＋２ｆ4＋ｆ5−ｆ7−２ｆ8−３ｆ9−・・・≧１２

　地図のように２つの辺に囲まれた領域まで許すことにすると，この数え上げ公式は

　　４ｆ2＋３ｆ3＋２ｆ4＋ｆ5−ｆ7−２ｆ8−３ｆ9−・・・＝１２

となり，係数が１ずつ小さくなり，それが０となるｆ6は式中に現れない．

　ここで，

(1)ｆ2＝ｆ3＝ｆ4＝０だとすると，少なくとも１２個のｆ5がなければならないことになる

(2)多面体の面がすべてｆ5とｆ6であるならば，ｆ5＝１２（切頂二十面体）

(3)多面体の面がすべてｆ4とｆ6であるならば，ｆ4＝６（切頂八面体）

(4)多面体の面がすべてｆ4，ｆ6，ｆ8であるならば，ｆ4＝ｆ8＋６（斜方切頂立方八面体）

　今回のコラムではこの証明に倣って，次数が３，４，５，６の２次元格子について調べてみることにする．

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【１】次数３の２次元格子

　オイラーの多面体定理で示される制限からいえることとして，

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝０，２ｅ≧３ｆ，２ｅ＝３ｖ

　　３ｖ＋３ｆ＝３ｅ＝２ｅ＋３ｆ　→　３ｆ−ｅ＝０

　ｎ本の辺をもつｆn枚の面とｎ本の辺が交わるｖn個の頂点をもつ２次元格子について，

　　Ｆ＝ｆ3＋ｆ4＋ｆ5＋・・・＋ｆn

　　２Ｅ＝３ｆ3＋４ｆ4＋５ｆ5＋・・・＋ｎｆn

　　６Ｆ−２Ｅ＝０

に代入すると

　　３ｆ3＋２ｆ4＋ｆ5−ｆ7−２ｆ8−３ｆ9−・・・＝０

となる．

　したがって，次数３の２次元格子には，

(1)六角格子

(2)ｆ5：ｆ7＝１：１

(3)ｆ4：ｆ8＝１：１

(4)ｆ3：ｆ9＝１：１

(5)ｆ3：ｆ12＝２：１

などがあることがわかる．

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【２】次数４の２次元格子

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝０，２ｅ≧３ｆ，２ｅ＝４ｖ

　　４ｖ＋４ｆ＝４ｅ＝２ｅ＋４ｆ　→　４ｆ−２ｅ＝０

　　Ｆ＝ｆ3＋ｆ4＋ｆ5＋・・・＋ｆn

　　２Ｅ＝３ｆ3＋４ｆ4＋５ｆ5＋・・・＋ｎｆn

を

　４Ｆ−２Ｅ＝０

に代入すると

　　ｆ3−ｆ5−２ｆ6−３ｆ7−４ｆ8−・・・＝０

となる．

　したがって，次数４の２次元格子には，

(1)正方格子

(2)ｆ3：ｆ5＝１：１

(3)ｆ3：ｆ4：ｆ5＝１：１：１

(4)ｆ3：ｆ6＝２：１

(5)ｆ3：ｆ7＝３：１

などがあることがわかる．

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【４】次数５の２次元格子

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝０，２ｅ≧３ｆ，２ｅ＝５ｖ

　　５ｖ＋５ｆ＝５ｅ＝２ｅ＋５ｆ　→　５ｆ−３ｅ＝０

　　Ｆ＝ｆ3＋ｆ4＋ｆ5＋・・・＋ｆn

　　２Ｅ＝３ｆ3＋４ｆ4＋５ｆ5＋・・・＋ｎｆn

を

　　１０Ｆ−６Ｅ＝０

に代入すると

　　ｆ3−２ｆ4−５ｆ5−８ｆ6−１１ｆ7−・・・＝０

　したがって，次数５の２次元格子には，

(1)ｆ3：ｆ4＝２：１

(2)ｆ3：ｆ5＝５：１

などがあることがわかる．

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【４】次数６の２次元格子

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝０，２ｅ≧３ｆ，２ｅ＝６ｖ

　　６ｖ＋６ｆ＝６ｅ＝２ｅ＋６ｆ　→　６ｆ−４ｅ＝０

　　Ｆ＝ｆ3＋ｆ4＋ｆ5＋・・・＋ｆn

　　２Ｅ＝３ｆ3＋４ｆ4＋５ｆ5＋・・・＋ｎｆn

を

　　３Ｆ−２Ｅ＝０

に代入すると

　　−ｆ4−２ｆ5−３ｆ6−４ｆ7−５ｆ8−・・・＝０

したがって，

　　ｆ4＝ｆ5＝ｆ6＝ｆ7＝ｆ8＝・・・＝０

でなければならない，すなわち，次数６の２次元格子は三角格子だけとなる．

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