２次元平面内の結晶構造は４種の結晶系，５種のブラーベ格子，１０種の点群，１７種の空間群，３次元空間内の結晶構造は７種の結晶系，１４種のブラーベ格子，３２種の点群，２３０種の空間群が存在することが知られている．

　これらは１９世紀末に完成をみた古典的な話題であって，現在，幾何学と結晶学はほとんど関係ないように思われていた節がある．ところが，砂田利一先生によってＫ４結晶が新たに記述されたのである．

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【１】砂田の定理

　『３次元結晶格子で強い対称性と等方性をもつものはダイヤモンド格子とＫ４格子に限られる．』

　２次元結晶格子で強い対称性と等方性をもつものは正六角形格子のみであるが，３次元結晶格子で強い対称性と等方性をもつものはダイヤモンド格子だけではなく，Ｋ４格子も強い対称性と等方性をもつのである．

　砂田先生は材料科学の研究者とＫ４結晶を実際に作るプロジェクトを開始している．

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【２】結晶の対称性の群

　３次元の格子状配置は１９世紀の初めから，結晶内の原子の配列を記述するのに使われてきたものであり，対称性の群の分類についての仕事の大半は，ブラーベ，フェドロフ，シェーンフリースなど１９世紀の結晶学者によってなされた．

　空間での等長変換は，平行移動，回転，並進回転，鏡映，すべり鏡映，回転鏡映，恒等変換の７種類であるから，３次元結晶群は２１９種類存在し，その多くが結晶構造として自然界にも存在している．（結晶をテーマとする物理の本には，たいてい３次元結晶群の数は２３０種類存在すると書かれてあるが，変換が向きを保たないものは異なるものと数えているからである．）

　２１９（２３０）通りの空間群が解明されたことで，本質的にはすべて解明されたことになり，そして，これから決まる本質的なディリクレ領域は，ロシアの結晶学者フェドロフの見つけた５種類の平行多面体しかない．

　なお，平面上での等長変換は，平行移動，回転，鏡映，すべり鏡映，恒等変換の５種類あり，また，２次元結晶の回転角は，６０°・９０°・１２０°・１８０°・２４０°・２７０°・３００°しかないことを考察することにより，２次元格子で異なる対称性をもつものは１７種類存在することがわかる．この１７種類の対称性は，２次元結晶群としてとらえることができる．この問題は，ロシアのフェドロフとドイツのシェーンフリースによって，まったく別々に解かれた．また，４次元のフェドロフ結晶群は４７８３種類（４８９５種類）存在する．

　さらに３次元ブラーベ格子には１８４８年にブラーベが発見した１４種類，４次元のブラーベ格子は６４種類（７４種類：１０組は対掌体の関係）ある．

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