■ｎ軸構造（その１２）
コラム「ｎ次元のダイヤモンド」では「炭素の同素体」について，ｎ＝０〜３の場合，すなわち，
(1)３次元・・・ダイヤモンド
(2)２次元・・・グラファイト
(3)１次元・・・カーボン・ナノチューブ，カルバイン
(4)０次元・・・フラーレン（Ｃ60），カーボンオニオン
を取り上げた．それぞれ結晶構造は異なっているが，さらに新しい構造の炭素物質が誕生しようとしている．
発端は砂田利一先生（明治大学）が昨年発表した新しい幾何学構造「Ｋ４」である．ダイヤモンドが備える完全対称性と等方性の２つの特徴をもつ結晶がほかにただひとつあることを砂田先生は発見．それがＫ４であるが，Ｋ４結晶はダイヤモンドの数学的双子と考えられるのである．
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【１】ダイヤモンド格子とＫ４格子
ダイヤモンド格子は正四面体の重心と頂点に位置する．すべての頂点の次数は４で（ｓｐ3混成），ダイヤモンドの最大周期格子は面心立方格子Ａ3である．正四面体状球配置の密度はπ√３／１６＝０．３４０であり，面心立方格子状の最密球配置：π√２／６＝０．７４，立方体状球配置：π／６＝０．５２４に較べて疎であるが，炭素原子からはそれぞれ４本の手がでていて，隣り合う４点と２本の手を共有しできる限り対称的なものを作り上げていることになる．
Ｋ４格子の名前の由来になったのは完全グラフＫ４であって，すべての２頂点が必ずひとつの辺で結ばれる４つの頂点からなるグラフのことである．Ｋ４格子のすべての頂点の次数は３である．ダイヤモンド結晶が６角形の連なりからできているのに対し，Ｋ４結晶では１０員環からなる網の目がみられる．
珪化ストロンチウム（ＳｒＳｉ）はＳｉのカゴ状構造中のなかにＳｒが取り込まれた形をしていて，珪素原子の配列はＫ４結晶構造をとる．すなわち，珪素原子間の結合で一番近いのを繋ぐと全部３本になるが，この構造を炭素でつくれないだろうかというのは自然な発想であろう．ダイヤモンド結晶が存在するのだから，Ｋ４結晶が現実の存在しても不思議ではない．
炭素元素の原子価は４であることからすべてが炭素原子のみから構成されるためには二重結合が必要になる（ｓｐ2混成）．ｓｐ2で繋がった３次元の炭素Ｋ４結晶のシミュレーションの結果，電気を通す金属としての性質があることがわかったそうである．構造が安定であることから機械構造物の骨組みとして使えば金属材料を使うより軽くできることも計算でわかった．
［参］Itoh M. New Metallic carbon Crystal, Physical Review Letters 102, 055703 (2009)
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【２】雑感
Ｋ４結晶では１０員環からなる網の目がみられる．このつなぎ方はは中川宏さんがすでに見つけている切稜立方体（＝切頂菱形１２面体）の積み木模型とそっくり同じものである．
したがって，Ｋ４結晶＝空間充填１８面体＝４軸構造という図式が成り立つ．にもかかわらず，この木工模型を眼にした誰もがＫ４結晶と同じだということに気がつかなかった．中川さんの作品を見逃していたのはまさに灯台下暗しであるが，立体感のない図を見ただけで同じ立体だと気づくのがいかに難しいかという教訓であろう．
なお，１９７７年に化学者のウェルズが珪化ストロンチウムの構造解析を行い，Ｋ４格子がすでに物質として実在することがわかっている．ウェルズはＫ４結晶だけでなく，ねじれ正多面体（４角５片，３角７片，３角８片，３角９片，３角１０片，３角１２片）なども自らの手で発見している．
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【補】ねじれ正多面体の発見
１９２６年，ペトリーとコクセターは３つのねじれ正多面体（正スポンジ）を発見した（ペトリーが４角６片，６角４片ねじれ正多面体の２つ，コクセターが６角６片ねじれ正多面体の１つ）．コクセターはこの種の正則形状が３つしかないことを証明している．
ねじれ正多面体は空間全体を２分割し，一方から他方へはどこかの面を突き抜けない限りいくことができないという性質をもつため，天文学に応用されている．ねじれ正多面体では内側と外側が同じ構造なのである．
ゴットはその発見から４０年近く遅れて，１８才のときに同じ３つの形状を再発見した．さらに，正則性の条件を緩くすることによって新しい４つのねじれ正多面体（５角５片，４角５片，３角８片，３角１０片）を発見した．ゴットはそれ以来ずっと幾何学の問題に魅せられて天文学者になった．その後，化学者のウェルズがゴットと全く同じ正則性の条件に基づいて，別のねじれ正多面体を発見した．
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