（その７）で調べたことは，切り取り線はわかっているが切削角度がわからないというものであった．たとえば，相手の面に対して垂直になるように削ることにすると，

　　Ｐ2s＝ｄ／√２［１，０，−２］

を通り，Ｃ42面に対して垂直な平面は，

　　ｎ42・Ｗ＝ｄ√３／２

　　Ｐ4e＝ｄ／√２［２，０，−１］

を通り，Ｃ21面に対して垂直な平面は，

　　ｎ21・Ｗ＝ｄ√３／２

となるが，これも森義彦先生（福島県数学教育協議会）が計算した切削面の法線ベクトル［３，２，１］と異なる方向を向いてしまうのである．［３，２，１］方向はどのように得られたものなのだろうか？

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【１】はみ出し部分の計算（その２）

　はみ出し部分をまったく削らないことにするとその法線ベクトルは

　　ｎ21＝１／√６［１，２，−１］

最大限削ることにした場合の法線ベクトルは

　　Ｑ2・ｎ42＝１／√６［２，−１，−１］

であるから，両者の中間をとることにすると

　　Ｏ2・ｎ21＋Ｑ2・ｎ42＝１／√６［３，１，−２］

となる．

　この平面は

　　Ｐ2s＝ｄ／√２［１，０，−２］

を通るから，

　　１／√６［３，１，−２］・Ｗ＝７ｄ／２√３･･･････(1)

と表すことができる．

　平面(1)とＰ4＝ｔＡ4＋Ｂ4：

　　Ｐ4＝［ｔ／√３＋ｄ／√２，ｔ／√３−ｄ／√２，−ｔ／√３］

の交点を計算すると

　　ｔ＝ｄ√（３／２）・５／６

　同様に，はみ出し部分をまったく削らないことにするとその法線ベクトルは

　　ｎ42＝１／√６［１，−２，−１］

最大限削ることにした場合の法線ベクトルは

　　Ｒ4・ｎ21＝１／√６［１，１，−２］

であるから，両者の中間をとることにすると

　　Ｏ4・ｎ42＋Ｒ4・ｎ21＝１／√６［２，−１，−３］

となる．

　この平面は

　　Ｐ4e＝ｄ／√２［２，０，−１］

を通るから，

　　１／√６［２，−１，−３］・Ｗ＝７ｄ／２√３･･･････(2)

と表すことができる．

　平面(2)とＰ2＝ｔＡ2＋Ｂ2：

　　Ｐ2＝［−ｔ／√３，ｔ／√３＋ｄ／√２，ｔ／√３−ｄ／√２］

の交点を計算すると

　　ｔ＝−ｄ√（３／２）・５／６

　以上のことから

　　｜ｔ｜≦ｄ√（３／２）・５／６

　　｜ｓ｜≦３ｄ√（３／２）／２・７／９＝ｄ√（３／２）・７／６

となる．

　　Ｐ1＝［ｓ／√３，ｓ／√３，ｓ／√３］

　　Ｐ2＝［−ｔ／√３，ｔ／√３＋ｄ／√２，ｔ／√３−ｄ／√２］

　　Ｐ3＝［ｔ／√３−ｄ／√２，−ｔ／√３，ｔ／√３＋ｄ／√２］

　　Ｐ4＝［ｔ／√３＋ｄ／√２，ｔ／√３−ｄ／√２，−ｔ／√３］

に，

　　ｔs＝−ｄ√（３／２）・５／６，ｔe＝ｄ√（３／２）・５／６

　　ｓs＝−ｄ√（３／２）・７／６，ｓe＝ｄ√（３／２）・７／６

を代入すると

　　Ｐ1s＝ｄ／６√２［−７，−７，−７］

　　Ｐ1e＝ｄ／６√２［７，７，７］

　　Ｐ2s＝ｄ／６√２［５，１，−１１］

　　Ｐ2e＝ｄ／６√２［−５，１１，−１］

　　Ｐ3s＝ｄ／６√２［−１１，５，１］

　　Ｐ3e＝ｄ／６√２［−１，−５，１１］

　　Ｐ4s＝ｄ／６√２［１，−１１，５］

　　Ｐ4e＝ｄ／６√２［１１，１，−５］

ここで，仮にｄ＝３０√２とおくと空間充填１８面体の頂点の座標が得られる．

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【２】空間充填１８面体の計量

　これでねじれ重角錐Ｃについての計算はほぼ完了で，あとはねじれ重角錐Ｂの頂点の座標を計算し，重角錐ＡについてはＢの法線ベクトルが［３，２，１］の面を

　　｜ｓ｜≦３ｄ√（３／２）／２・７／９＝ｄ√（３／２）・７／６

の周りに回転行列Ｒ2-4，Ｑ2-4を使って移してやるだけのことである．以下に計算例をいくつか示す．

［１］ねじれ重角錐Ｂ

　２平面(1),(2)は

　　１／√６［３，１，−２］・Ｗ＝７ｄ／２√３･･･････(1)

　　１／√６［２，−１，−３］・Ｗ＝７ｄ／２√３･･･････(2)

で与えられるから，その交線をｔＡ＋Ｂ＝０，Ａ＝（ａ1，ａ2，ａ3），Ｂ＝（ｂ1，ｂ2，ｂ3），Ａ⊥Ｂとすると

　　Ａ＝１／√３［１，−１，１］

　　Ｂ＝７ｄ／５√２［１，０，−１］

　この交線は１８面体のもうひとつの４軸構造になっている．これとｃ21面

　　１／√６［１，２，−１］・Ｗ＝√３ｄ／２

の交点は，

　　ｔ＝−ｄ√（３／２）／１０　→　ｄ／１０√２［１３，１，−１５］

［２］重角錐Ａ

　たとえば，Ｗ＝（ｘ，ｙ，ｚ）がＰ2＝ｔＡ2＋Ｂ2を回転対称軸とする−１２０°回転Ｑ2によって，点ｄ／１０√２［１３，１，−１５］に移ったとすると

　　Ｑ2（Ｗ−Ｂ2）＋Ｂ2＝ｄ／１０√２［１３，１，−１５］

によって，もとの点Ｗを求めることができる．

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【３】空間充填１８面体の木工製作

　中川宏さん製作の木工空間１８面体の写真を掲げる．この空間充填１８面体は重三角錐Ａと２つのねじれ重三角錐Ｂ，Ｃのintersectionとしてできているため，当初は２つの正三角錐とねじれ重三角錐台に３分割して作るしかないと思われた．しかし，実際に作ったものはねじれ重三角錐Ｃをつくるための開けた穴に埋め木して重三角錐Ａの面を削ってある．中川さん苦心の作といえるだろう．

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