■ｎ軸構造（その８）
（その６）では「重複部分」を除去することを考えたが，条件が足りず，構造を決定するには至らなかった．今回のコラムでは「はみ出し部分」を除去する条件を加えて再検討してみた．
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【１】面の回転
そのためにはねじれ重角錐Ｃ面を回転させる必要があるが，面をＣ21，Ｃ22，Ｃ31，Ｃ32，Ｃ41，Ｃ42としてそれぞれの法線ベクトルを求める．
Ａ1＝１／√３［１，１，１］
Ａ2＝１／√３［−１，１，１］
Ａ3＝１／√３［１，−１，１］
Ａ4＝１／√３［１，１，−１］
Ｂ2＝ｄ／√２［０，１，−１］ Ｂ23＝ｄ／√２［１，１，０］
Ｂ3＝ｄ／√２［−１，０，１］ Ｂ34＝ｄ／√２［０，１，１］
Ｂ4＝ｄ／√２［１，−１，０］ Ｂ42＝ｄ／√２［１，０，１］
たとえば，Ｃ21面ではＡ2⊥ｎ12，Ｂ42⊥ｎ12，Ｂ2・ｎ12＞０より，
ｎ21＝１／√６［１，２，−１］
また，原点から平面へ引いた垂線の（符号のついた）長さｃ21は
Ｐ1e＝［３ｄ／２√２，３ｄ／２√２，３ｄ／２√２］
を通ることより
ｃ21＝√３ｄ／２
以下同様に，
ｎ22＝１／√６［−１，１，−２］，ｃ22＝√３ｄ／２
ｎ31＝１／√６［−１，１，２］，ｃ31＝√３ｄ／２
ｎ32＝１／√６［−２，−１，１］，ｃ32＝√３ｄ／２
ｎ41＝１／√６［２，−１，１］，ｃ41＝√３ｄ／２
ｎ42＝１／√６［１，−２，−１］，ｃ42＝√３ｄ／２
はみ出し部分は３軸Ｐ2，Ｐ3，Ｐ4の２軸ずつに直交する
Ｂ23＝ｄ／√２［１，１，０］
Ｂ34＝ｄ／√２［０，１，１］
Ｂ42＝ｄ／√２［１，０，１］
であるが，ここではＣ21面とＣ42面に挟まれるＢ24に注目する．
Ｐ2＝ｔＡ2＋Ｂ2を回転対称軸とする−１２０°回転Ｑ2で，Ｃ42面の法線ベクトルは
Ｑ2・ｎ42＝１／√６［２，−１，−１］
となり，
Ｐ2s＝ｄ／√２［１，０，−２］
を通る平面に移るから，この平面はＷ＝（ｘ，ｙ，ｚ）として，
Ｑ2・ｎ42・Ｗ＝２ｄ／√３･･･････(1)
と表すことができる．
一方，Ｐ4＝ｔＡ2＋Ｂ2を回転対称軸とする１２０°回転Ｒ4で，Ｃ21面の法線ベクトルは
Ｒ4・ｎ21＝１／√６［１，１，−２］
となり，
Ｐ4e＝ｄ／√２［２，０，−１］
を通る平面に移るから，
Ｒ4・ｎ21・Ｗ＝２ｄ／√３･･･････(2)
と表すことができる．
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【２】はみ出し部分の計算
平面(1)とＰ4＝ｔＡ4＋Ｂ4：
Ｐ4＝［ｔ／√３＋ｄ／√２，ｔ／√３−ｄ／√２，−ｔ／√３］
の交点を計算すると
ｔ＝ｄ√（３／２）・１／２
同様に，平面(2)とＰ2＝ｔＡ2＋Ｂ2：
Ｐ2＝［−ｔ／√３，ｔ／√３＋ｄ／√２，ｔ／√３−ｄ／√２］
の交点は
ｔ＝−ｄ√（３／２）・１／２
より，
｜ｔ｜≦ｄ√（３／２）・１／２
となるが，これでは明らかに削りすぎである．
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【３】雑感
ねじれ重角錐Ｃの面の法線ベクトルは［２，１，１］方向を向き，それを回転させても［２，１，１］方向を向いている．しかるに，森義彦先生（福島県数学教育協議会）が計算した重角錐Ａとねじれ重角錐Ｂの面の法線ベクトルは［３，２，１］方向を向いている．
したがって，今回のコラムで示したはみ出し部分の除去法だけでは問題解決には結びつかないことになる．
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【補】超平面
ａを行ベクトル，ｘを列ベクトルとして
ａ＝（ａ1，・・・，ａn）
ｘ’＝（ｘ1，・・・，ｘn）
また，実数をｃとおくと，ｎ次元ユークリッド空間の超平面は，
ａｘ’＝ｃ
で表すことができます．原点を通るときｃ＝０です．
ベクトルａを超平面の法線ベクトルと呼びます．法線ベクトルはスカラー倍を除いて一意に定まります．ａをその長さ‖ａ‖で割ったベクトルａ／‖ａ‖を考えると，これは長さ１の単位法線ベクトルとなります．
また，ａが単位法線ベクトル，すなわち，
ａ1^2＋ａ2^2＋・・・＋ａn^2＝１
が成り立つとき，ｃは原点から超平面へ引いた垂線の（符号のついた）長さとなります．
ｎ＝１なら方程式はａｘ＝ｂですから，超平面は点にほかなりません．ｎ＝２ならａｘ＋ｂｙ＝ｃとなり，超平面は直線，ｎ＝３ならａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＝ｄですから，超平面は平面を表します．３次元空間内の超平面が普通の平面だし，２次元空間内の超平面は直線ですから，ｎ次元空間の場合，ｎ−１次元の線形多様体を超平面というのです．
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