■ｎ軸構造（その７）
（その５）において，ねじれ重角錐Ｃの計量は４軸構造と完全に一致することを示した．この六面体は概空間充填するが，頂点のあたりで重なりを生じてしまう．
重なる部分をボロノイ分割のように処理して重ならないように工夫する必要があるが，そのためには（その４）で示した回転＋平行移動，たとえば，Ｐ2＝ｔＡ2＋Ｂ2を回転対称軸とする−１２０°回転Ｑ2では，Ｗ＝（ｘ，ｙ，ｚ）は
Ｑ2（Ｗ−Ｂ2）＋Ｂ2＝Ｑ2Ｗ−Ｑ2Ｂ2＋Ｂ2
に移ることを利用して重複部分を計算する．
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【１】同軸性の検証
重複部分を計算する前に，同軸性を検証しておきたい．
Ｑ2：Ａ1→−Ａ3，Ａ2→Ａ2，Ａ3→Ａ4，Ａ4→−Ａ1
Ｑ2：Ｂ2→−Ｂ23，Ｂ3→Ｂ34，Ｂ4→−Ｂ3
Ｑ3：Ａ1＝−Ａ4，Ａ2→−Ａ1，Ａ3→Ａ3，Ａ4→Ａ2
Ｑ3：Ｂ2→−Ｂ4，Ｂ3→−Ｂ34，Ｂ4→Ｂ42
Ｑ4：Ａ1→−Ａ2，Ａ2→Ａ3，Ａ3→−Ａ1，Ａ4→Ａ4
Ｑ4：Ｂ2→Ｂ23，Ｂ3→−Ｂ2，Ｂ4→−Ｂ42
より，Ｐ1の中心軸Ａ1について
Ｗ＝ｓＡ1，｜ｓ｜≦３ｄ√（３／２）／２
とおくと，
Ｑ2（ｓＡ1−Ｂ2）＋Ｂ2＝−ｓＡ3＋Ｂ23＋Ｂ2･･･････(1)
これはＡ3方向を向くベクトルとなる．
同様に，Ｐ3を回転対称軸とする−１２０°回転Ｑ3，Ｐ4を回転対称軸とする−１２０°回転Ｑ4では
Ｑ3（Ｗ−Ｂ3）＋Ｂ3＝Ｑ3Ｗ−Ｑ3Ｂ3＋Ｂ3
Ｑ4（Ｗ−Ｂ4）＋Ｂ4＝Ｑ4Ｗ−Ｑ4Ｂ4＋Ｂ4
であるが，たとえば，Ｑ4によってＡ3方向を向くのはＰ2であるから，
Ｗ＝Ｐ2＝ｔＡ2＋Ｂ2，｜ｔ｜≦ｄ√（３／２）
とおくと，
Ｑ4（ｔＡ2＋Ｂ2−Ｂ4）＋Ｂ4＝ｔＡ3＋Ｂ23＋Ｂ42＋Ｂ4･･･････(2)
２円柱Ｐi，Ｐjの双方に対して垂直な単位ベクトルｎijは
ｎij＝Ａi×Ａj／｜Ａi×Ａj｜＝１／√２（１，１，０）
さらに２円柱Ｐi，Ｐjの距離ｄijは
ｄij＝｜ｎij・（Ｂi−Ｂj）｜＝ｄ
と計算されるを使って同軸であることを検証するのだが，(1),(2)
Ｑ2（ｓＡ1−Ｂ2）＋Ｂ2＝−ｓＡ3＋Ｂ23＋Ｂ2，Ｂi＝Ｂ23＋Ｂ2
Ｑ4（ｔＡ2＋Ｂ2−Ｂ4）＋Ｂ4＝ｔＡ3＋Ｂ23＋Ｂ42＋Ｂ4，Ｂj＝Ｂ23＋Ｂ42＋Ｂ4
の両者に対して垂直なベクトルは
Ｂ3＝ｄ／√２［−１，０，１］
より，
ｎij＝１／√２［−１，０，１］
Ｂi＝ｄ／√２［１，２，−１］
Ｂj＝ｄ／√２［３，０，１］
Ｂi−Ｂj＝ｄ／√２［−２，２，−２］
であるからｄij＝０．よって，同軸であることが確認された．
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【２】重複部分の計算
Ｑ2（ｓＡ1−Ｂ2）＋Ｂ2＝−ｓＡ3＋Ｂ23＋Ｂ2，Ｂi＝Ｂ23＋Ｂ2，｜ｓ｜≦３ｄ√（３／２）／２･･･････(1)
Ｑ4（ｔＡ2＋Ｂ2−Ｂ4）＋Ｂ4＝ｔＡ3＋Ｂ23＋Ｂ42＋Ｂ4，Ｂj＝Ｂ23＋Ｂ42＋Ｂ4，｜ｔ｜≦ｄ√（３／２）･･･････(2)
より，(1)の端点は
ｄ（１／√２−３／２√２，２／√２＋３／２√２，−１／√２−３／２√２）＝ｄ／√２（−１／２，７／２，−５／２）
ｄ（１／√２＋３／２√２，２／√２−３／２√２，−１／√２＋３／２√２）＝ｄ／√２（５／２，１／２，１／２）
(2)の端点は
ｄ（３／√２−１／√２，１／√２，１／√２−１／√２）＝ｄ／√２（２，１，０）
ｄ（３／√２＋１／√２，−１／√２，１／√２＋１／√２）＝ｄ／√２（４，−１，２）
となり，両者は重複することがわかる．
(1)と(2)の長さをそれぞれ３と２とすると，長さ０．５の部分が重複していることになる．問題は重複部分をどこで分割するかであるが，２：３に内分すると
｜ｓ｜≦３ｄ√（３／２）／２・４／５
｜ｔ｜≦ｄ√（３／２）・４／５
となり，直観的にはよいのではと思えるのだが，
［参］ウェルズ「不思議おもしろ幾何学事典」朝倉書店
では１：２に内分する点が選ばれている．
｜ｓ｜≦３ｄ√（３／２）／２・７／９＝ｄ√（３／２）・７／６
｜ｔ｜≦ｄ√（３／２）・５／６
一般に，ｍ：ｎに内分する点で切断することにすると，
｜ｓ｜≦３ｄ√（３／２）／２・（３ｍ＋２ｎ）／（３ｍ＋３ｎ）
≦ｄ√（３／２）・（３ｍ＋２ｎ）／（２ｍ＋２ｎ）
｜ｔ｜≦ｄ√（３／２）・（ｍ＋２ｎ）／（２ｍ＋２ｎ）
分割点は一意に決まるのかどうか，また，分割点を決めた後，分割の角度をどうやって決めればよいのかについてはまだわからないが，もうひとつの４軸構造をもたせることが必要になる．これらの問題は次回以降にまわすことにしたい．
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