【５】まとめ

　５回対称性をもった正多角形や正多面体は２次元平面や３次元空間を充填しません．しかし，一定の間隙を許すことにすると平面や空間を無限に連結することができます．４次元空間内で，正１２０胞体あるいは正６００胞体を連結すると周期的にも非周期的にも無限に連結するのですが，その場合，３次元空間内への投影は３次元空間を周期的にも非周期的にも被覆することができます．なお，５次元以上の空間には５回対称性をもった正多胞体は存在しません．

　２種類の黄金平行多面体を用いて，３次元を隙間なく埋める非周期的構造を作ることができるのですが，この黄金平行多面体による充填図形の平面への投影はペンローズ・パターンと呼ばれる準周期性平面充填となります．すなわち，ペンローズのタイル貼りは，三次元空間を２種類の黄金菱面体で非周期的に埋めつくしたときの平面への投影図であり，５回対称性という物質の新しい状態を２次元的に模似したものになっています．

　一般にｎ次元平行多胞体は１種類（あるいは何種類か）でｎ次元空間を周期的に充填するのですが，それを３次元空間内や２次元平面上に平行投影して適当に隠線処理すると平行多面体や平行多角形による非周期的な充填図形が得られることになります．その際，正１０角形を構成する２種類の菱形で構成される準周期性平面充填をペンローズ・パターンというのですが，それに対して，正８角形を構成する２種類の菱形（正方形を含む）で構成される準周期性平面充填はアンマン・パターンと呼ばれるタイル貼りになっています．

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