量子統計力学では，

［１］ポリアの壷のような量子状態が与えられていて，壷は区別できるが粒子は区別できない

［２］エネルギーの低い状態からほぼ順番に素粒子によって占められる

［３］ある状態に１個しか入れない場合と，何個でも入れる場合がある．

エネルギー準位：ｅ1，ｅ2，ｅ3，・・・

量子状態の個数：ｇ1，ｇ2，ｇ3，・・・

粒子数　　　　：ｎ1，ｎ2，ｎ3，・・・

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【１】フェルミ・ディラック分布

　ある量子状態に１個しか入れない場合，ｇk個の状態をｎkこの区別できない粒子が占める仕方は，選ばれた量子状態数＝粒子数となるから

　　（ｇk，ｎk）＝ｇk！／ｎk！（ｇk－ｎk）！

　すべてのエネルギー準位にわたって積をとると，全場合の数Ｇは

　　Ｇ＝Π（ｇk，ｎk）

全粒子数Ｎ，全エネルギーＥは

　　Ｎ＝Σｎk，Ｅ＝Σｎkｅk

　全粒子数，全エネルギーを固定した条件下で，Ｇを極大化する．

　　ｄ（ｌｏｇＧ）＝ｄＧ／Ｇ＝－Σ｛ｌｏｇｎkｄｎk－ｌｏｇ（ｇk－ｎk）ｄｎk｝

　　ここでは，スターリングの公式

　　　ｌｏｇｘ！～ｘｌｏｇｘ→ｄ（ｌｏｇｘ！）～（ｌｏｇｘ）ｄｘ

を用いている．

　さらに，ラグランジュの未定乗数法を用いて，

　　Σ｛ｌｏｇｎk／（ｇk－ｎk）＋α＋βｅk｝ｄｎk＝０

が得られるから，

　　ｌｏｇｎk／（ｇk－ｎk）＝ｅｘｐ（－α－βｅk）

　　ｎk＝ｇk／｛ｅｘｐ（α＋βｅk）＋１｝

　それぞれの量子状態の平均粒子数は

　　ｎk／ｇk＝１／｛ｅｘｐ（α＋βｅk）＋１｝

　また，統計力学的にα＝－μ／ｋＴ，β＝１／ｋＴ，ｋはボルツマン定数なので，多数のＮ個の粒子をｋ＝０～∞までの量子状態に配置したとき，それぞれの粒子がｋ番目の量子状態に配置する確率は

　　１／Ｎ・１／｛ｅｘｐ（ｅk－μ）／ｋＴ＋１｝

　　Ｎ＝Σ１／｛ｅｘｐ（ｅk－μ）／ｋＴ＋１｝

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【２】ボーズ・アインシュタイン分布

　ある量子状態に制限なしに入れる場合，ｇk個の状態をｎkこの区別できない粒子が占める仕方は，

　　＜ｇk，ｎk＞＝（ｇk＋ｎk－１）！／ｎk！（ｇk－１）！

　すべてのエネルギー準位にわたって積をとると，全場合の数Ｇは

　　Ｇ＝Π＜ｇk，ｎk＞

全粒子数，全エネルギーを固定した条件下で，Ｇを極大化する．

　　ｄ（ｌｏｇＧ）＝ｄＧ／Ｇ＝－Σ｛ｌｏｇｎkｄｎk－ｌｏｇ（ｇk＋ｎk）ｄｎk｝

　さらに，ラグランジュの未定乗数法を用いて，

　　Σ｛ｌｏｇｎk／（ｇk＋ｎk）＋α＋βｅk｝ｄｎk＝０

が得られるから，

　　ｌｏｇｎk／（ｇk＋ｎk）＝ｅｘｐ（－α－βｅk）

　　ｎk＝ｇk／｛ｅｘｐ（α＋βｅk）－１｝

　それぞれの量子状態の平均粒子数は

　　ｎk／ｇk＝１／｛ｅｘｐ（α＋βｅk）－１｝

以下，同様に

　　１／Ｎ・１／｛ｅｘｐ（ｅk－μ）／ｋＴ－１｝

　　Ｎ＝Σ１／｛ｅｘｐ（ｅk－μ）／ｋＴ－１｝

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