ａ^n＋ｂ^n＋ｃ^n＝ｄ^nを満たす自然数の組は存在し、たとえば

n=3では

　　３^3 ＋４^3＋５^3＝６^3，

　　１^3＋６^3＋８^3＝９^3，

　　７^3＋１４^3＋１７^3＝２０^3

それではn=4ではどうでしょうか？

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　オイラーは、一般のｎ乗ベキに対する証明に拡張する望みはまず見いだせないと書いています。

さらに、オイラーは、フェルマー予想の条件をゆるめて一般化した問題『ｘ1^n＋ｘ2^n＋・・・＋ｘn-1^n＝ｘnn、たとえば、ｘ^4 ＋ｙ^4 ＋ｚ^4 ＝ｗ^4 にも自然数解がない』と予想しました。この不定方程式には整数解がないであろうことが長い間予想されていて、モーデルはコンピュータを使ってｗ＜２２００００の範囲でこの問題は成立することを紹介しています。

ところが、オイラーの推測からおよそ２００年後、コンピュータを使って

２７^5 ＋８４^5 ＋１１０^5 ＋１３３^5 ＝１４４^5 　（１９６６年）

９５８００^4 ＋２１７５１９^4 ＋４１４５６０^4 ＝４２２４８１^4 　（１９８８年）

２６８２４４０^4 ＋１５３６５６３９^4 ＋１８７９６７６０^4 ＝２０６１５０７３^4 　（１９８８年）

などのオイラー予想に対する反例が発見されました。

さらに、エルキースにより、ｘ^4 ＋ｙ^4 ＋ｚ^4 ＝ｗ^4 には無数の解があることが楕円曲線の理論に基づいて示されました（１９８８年）。

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