数学者ハーディがラマヌジャンに会いに行ったとき，タクシーナンバーが１７２９という何の変哲もない数であったと彼に伝えたところ，ラマヌジャンは１７２９は２つの３乗数で２通りに表せる最小の数だと答えたというエピソードは大変有名である．

たしかに

　　１７２９＝１２^3＋１^3＝１０^3＋９^3

と書き表すことができるが，どうすればそんなことに気づくことができるのだろうか？　

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それでは２つの４乗数の和で２通りに表すことのできる最小の数は何だろうか？

知られている最小の数は

６３５３１８６５７＝１５８^4＋５９^4＝１３３^4＋１３４^4

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これはハーディのラマヌジャンへのはるか以前にオイラーが見つけた答えである。

２つの５乗数の和で２通りに表すことのできる数があるかどうかわかっていないが、そのような数は存在しないと思われている

　ハーディの問題を拡張する方向としては、一つには未知数の個数を増すこと、もう一つには指数を大きくすることになります。後者の解としては、

６３５３１８６５７＝１５８^4＋５９^4＝１３３^4＋１３４^4 となります。後者は超タクシー数の問題です。

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【１】超タクシー数

１７２９は２通りの３乗数の和として表される最小の数である。

ｎ通りの３乗数の和として表される数の中で、最小の数は何だろうか？

２は１通りの３乗数の和として表される最小の数である。

２＝１^3＋１^3

６通りまでの３乗数の和として表される最小の数はわかっている。

［１］３通り

８７５３９３１９＝１６７^3＋４３６^3＝２２８^3＋４２３^3＝２５５^3＋４１４^3

［２］４通り

６９６３４７２３０９２４８

［３］５通り

４８９８８６５９２７６９６２４９６

［４］６通り

２４１５３３１９５８１２５４３１２０６５３４４

超タクシー数は無限に存在するが、最初の６つしかわかっていない。

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