■非周期的三重らせん構造(その17)

 λ=exp(ξi)=exp(2θi)=cosξ+isinξ

とおくと,tannθ=ntanθは

  (n−1)λ^n-2+2(n−2)λ^n-3+3(n−3)λ^n-4+・・・+(n−2)2λ+(n−1)=0

 数式処理ソフトが利用できるとしたら,方程式

  Σ(n−ν)νλ^ν-1=0,ν=1〜n−1

を解くのが一番の近道と思われる.

 とくに,nが奇数の場合(偶数次元の場合),この方程式の係数行列はパスカルの三角形の変形,

            1

          2 1 2

        3 2 4 2 3

      4 3 6 4 6 3 4

    5 4 8 6 9 6 5 4 5

  6 5 10 8 12 9 12 8 10 5 6

7 6 12 10 15 12 16 12 15 10 12 6 7

で与えられる.

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[まとめ]nが奇数であっても偶数であっても,λに関するn−2次方程式

  Σ(n−ν)νλ^ν-1=0,ν=1〜n−1

の根はすべて|λ|=1なのであろうか? この方程式は解いてみる価値があるだろう.

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