■非周期的三重らせん構造(その15)

 方程式tannθ=ntanθは正単体らせんのねじれ角cosξの計算に用いられる.

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 λ=exp(ξi)=exp(2θi)=cosξ+isinξ

とおくと,tannθ=ntanθは

  (n−1)λ^n-2+2(n−2)λ^n-3+3(n−3)λ^n-4+・・・+(n−2)2λ+(n−1)=0

  Σ(n−ν)νλ^ν-1=0,ν=1〜n−1

 ここで,係数(n−ν)νはサマーヴィル単体の辺の長さの計算においても現れることを注意しておきたい.

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[1]2次元の場合(n=3)

  Σ(n−ν)νλ^ν-1=0,ν=1〜n−1

→2λ+2=0

λ=−1

 cosξ=−1

[2]3次元の場合(n=4)

  Σ(n−ν)νλ^ν-1=0,ν=1〜n−1

→3λ^2+4λ+3=0

λ=(−2±i√5)/3

 cosξ=−2/3

[3]4次元の場合(n=5)

  Σ(n−ν)νλ^ν-1=0,ν=1〜n−1

→4λ^3+6λ^2+6λ+4=0

 2(λ+1)(2λ^2+λ+2)=0

λ=(−1±i√3)/4

 cosξ=−1/4

[4]5次元の場合(n=6)

  Σ(n−ν)νλ^ν-1=0,ν=1〜n−1

→5λ^4+8λ^3+9λ^2+8λ+5=0

→λ=?

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[まとめ]

 cosξ=−2/3→ξ=131.81°

 cosξ=−1/4→ξ=104.477°

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