■非周期的三重らせん構造(その12)

 正四面体の面と面を接合して三角形面からなる捻れた柱を作ることができる.正四面体を1個接合させる毎に面数は2,辺数は3,頂点数は1増えるから,k連結体では

  面数:2k+2,辺数:3k+3,頂点数:k+3

で与えられる.それでは,この立体らせんのねじれ角は?

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 正四面体の2組の相対する辺はねじれの位置にあり,その中点を結ぶ直線はこれらの辺に直交する.まず,中点間距離を求めてみたい.

 辺の長さ1の正四面体の頂点座標を

  (−1/2,−√3/6,−√6/12)

  (1/2,−√3/6,−√6/12)

  (0,√3/3,−√6/12)

  (0,0,√6/4)

にとる.

 対辺の中点は

  (0,−√3/6,−√6/12)

  (0,√3/6,√6/12)

その距離は

  {(√3/3)^2+(√6/6)^2}^1/2=1/√2

 対辺の中点を結ぶ直線をx軸として,正四面体の4頂点を

  A(1/2√2,0,−1/2)

  D(1/2√2,0,1/2)

  C(−1/2√2,1/2,0)

  B(−1/2√2,−1/2,0)

にとることができるが,

  AD(0,0,1)

  AB(−1/√2,−1/2,1/2)

  AC(−1/√2,1/2,1/2)

の重心

  AG(−2/3√2,0,2/3)

を2倍伸張した点E(x,y,z)の座標は

  A+2AG=(1/2√2,0,−1/2)+2(−2/3√2,0,2/3)=(−5/6√2,0,5/6)

 これをx軸周りにθだけ回転させて,5点が同一円周上にあるような投影方向を求めなければならない.c=cosθ,s=sinθ

  A(1/2√2,s/2,−c/2)

  D(1/2√2,−s/2,c/2)

  C(−1/2√2,c/2,s/2)

  B(−1/2√2,−c/2,−s/2)

  E(−5/6√2,−5s/6,5c/6)

  O(x,0,0)

 (x−1/2√2)^2+s^2/4=(x+1/2√2)^2+c^2/4=(x+5/6√2)^2+s^2・(5/6)^2

 x^2−x/√2+1/8+s^2/4

=x^2+x/√2+1/8+1/4−s^2/4

=x^2+5x/3√2+25/72+25s^2/36

2x/√2+1/4−s^2/2=0

8x/3√2+2/9+4s^2/9=0

8x/3√2+1/3−2s^2/3=0

1/9−10s^2/9=0,s^2=1/10,c^2=9/10

x√2+1/4−1/20=0→x=−1/5√2

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