■周期的三重らせん構造(その20)

 対辺の長さも2bにすることを考える→等面四面体.

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  A(0,0,b)

  B(0,0,−b)

  C(0,h,0)

  D(x,y,0)

  E(−x,y,0)

  F(α,β,γ)

h^2+b^2=1

AC^2=h^2+b^2=1

AD^2=x^2+y^2+b^2=1

CD^2=x^2+(y−h)^2=1 →4b^2

x^2+y^2−2yh+h^2=4b^2

1−b^2−2yh+h^2=4b^2

x^2+y^2=h^2

y=(h^2+1−5b^2)/2h=(3h^2−2)/h

y^2=(3h^2−2)^2/h^2

x^2=h^2−y^2

−b^2=x^2+y^2−1

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 F(α,β,γ)の計算は以下の通りである.

 Bから△ACDに下ろした垂心H(X,Y,Z)を求めなければならない.二等辺三角形を底面としてその高さをHとすると

  (4b^2−H^2)^1/2+(1−b^2−H^2)^1/2=(1−b^2)^1/2

  (4b^2−H^2)+(1−b^2−H^2)+2(4b^2−H^2)^1/2(1−b^2−H^2)^1/2=1−b^2

  (2b^2−H^2)+(4b^2−H^2)^1/2(1−b^2−H^2)^1/2=0

  (4b^2−H^2)(1−b^2−H^2)=H^4−4b^2H^2+4b^4

  4b^2(1−b^2)−4b^2H^2−(1−b^2)H^2+H^4=H^4−4b^2H^2+4b^4

  4b^2(1−b^2)−(1−b^2)H^2=4b^4,4b^2−8b^4=(1−b^2)H^2

  H^2=(4b^2−8b^4)/(1−b^2)

  (4b^2−H^2)^1/2=2b^2/(1−b^2)^1/2

 HはAとCDの中点を結んだ直線上でAから2b^2/(1−b^2)^1/2の距離にある.

b=1/2のとき,√3/3であるからOK.

  A(0,0,b)

  B(0,0,−b)

  C(0,h,0)

  D(x,y,0)

  M(x/2,(y+h)/2,0)

  AM(x/2,(y+h)/2,−b)

  (X)/(x/2)=Y/(y+h)/2=(Z−b)/(−b)=k

k=2b^2/(1−b^2)^1/2/(1−b^2)^1/2=2b^2/(1−b^2)より,H(X,Y,Z)が求められる.

F(α,β,γ)はB+2BHで与えられる.

BH=(X,Y,Z+b)

2BH=(2X,2Y,2Z+2b)

B+2BH=(2X,2Y,2Z+b)=F(α,β,γ)

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