３次元の１４面体による空間分割，ｎ次元の２（２^n−１）胞体による空間分割を補足しておきたい．

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【１】石鹸の泡細胞

　オイラーの定理が物理的作用と結びつくと，興味のある幾何学的効果が出現してきます．たとえば，２次元的にランダムに配列した石鹸の泡はいろいろなサイズの泡細胞からなっていますが，表面張力の要請から境界長を極小化しようとしますから，接合角度は１２０度となります（プラトー問題・最小シュタイナー木問題）．このことから，石鹸の泡は各頂点の次数がすべて３である平面図形と考えることができます．

　また，互いに１２０°の角度で交わる石鹸膜の交線は

　　ａｒｃｃｏｓ（−１／３）＝１０９．４７１°

で接触します．正四面体の頂点から中心に向かう３枚の膜は互いに１２０°の角度をなし，中心に集まる４本の線は１０９．４７１°（マラルディの角）をなすのです．

　すなわち，４本の稜線が各頂点でマラルディの角をなして交わり，その一方で，３枚の面が１２０°の二面角をなしながら各稜線で集まる．このように，１２０°と１０９．４７１°は石鹸膜が接触するときの基本的な角度ですが，コクセターは１つの泡に接する泡の数を

　（２３＋√３１３）／３＝１３．５６

と計算し，そのアイデアを日記に記しています．

　これは２次方程式

　　３ｘ^2−４６ｘ＋７２＝０

の解となっていることが見てとれますが，どのようにして導出されたものなのでしょうか？

（Ａ）４次元正多胞体はシュレーフリ記号｛ｐ，ｑ，ｒ｝・・・各頂点にｐ角形がｑ面集まる多面体が各辺にｒ個集まる・・・で表記されるとします．

　［参］コクセターの「最密充填と泡」に関する論文

　　Coxeter: Close packing and froth, Illinois Journal of Mathematics 2, 746-758 (1958)

によると，ｐ，ｑ，ｒに関する不等式

　　１／ｐ＋１／ｑ＞１／２　　　（ｐ，ｑ≧３）

　　１／ｑ＋１／ｒ＞１／２　　　（ｑ，ｒ≧３）

に有限群であるという条件が付加されると，さらに２次不等式

　　ｐ−４／ｐ＋２ｑ＋ｒ−４／ｒ＜１２

　　ｐ−４／ｐ＜１２−２ｑ−ｒ＋４／ｒ

　　ｐ^2−（１２−２ｑ−ｒ＋４／ｒ）ｐ−４＜０

が得られます．

　泡細胞の合胞体の場合，１個の頂点に３個の辺が集まり，１本の辺の周りに３個の泡細胞が合するというのが空間分割の局所条件ですから，ｑ＝ｒ＝３とおくと

　　ｐ^2−（１３／３）ｐ−４＜０

　　ｐ＜（１３＋√３１３）／６＝５．１１５３

これを

　　ｆ＝１２／（６−ｐ）

　　ｖ＝４ｐ／（６−ｐ）

　　ｅ＝６ｐ／（６−ｐ）

に代入すると

　　ｆ＝（２３＋√３１３）／３＝１３．５６４

　　ｖ＝２（１７＋√３１３）／３＝２３．１２８

　　ｅ＝１７＋√３１３＝３４．６９２

になるというわけです．

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【２】石鹸の泡細胞（その２）

　多面体の面がすべてｆ4とｆ6であるならば，ｆ4＝６（切頂八面体など）である．ケルビンは石鹸の泡がみせる規則性は，１４面の切頂八面体による空間充填図形であるとした．

　切頂八面体は各頂点に４つの稜線が集まり，各稜線に３つの面を集める空間充填図形になるからである．切頂八面体の二面角は１２０°ではなく，各頂点に集まる稜線のなす角度も１０９．４７１°ではないが，面が曲面であれば泡が要求する１２０°と１０９．４７１°の条件を満たすことができる．

　しかし，ケルビンの１４面体は石鹸の泡の中にはほとんどみられないことが，ウィリアムスによって指摘された．なお，各頂点に４つの辺が集まる空間分割では

　　＜Ｆ＞＝１２／（６−＜ｐ＞）

　　＜Ｆ＞＝１３．９６　→　＜ｐ＞＝５．１

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【３】ｎ次元のマラルディー角

　２次元的にランダムに配列した石鹸の泡はいろいろなサイズの泡細胞からなっていますが，表面張力の要請から境界長を極小化しようとしますから，接合角度は１２０度となります（プラトー問題・最小シュタイナー木問題）．

　　ｃｏｓθ＝−１／２，θ＝１２０°

このことから，石鹸の泡は各頂点の次数がすべて３である平面図形と考えることができます．

　また，互いに１２０°の角度で交わる石鹸膜の交線は

　　ｃｏｓθ＝−１／３，θ＝１０９．４７１°

で接触します．正四面体の頂点から中心に向かう３枚の膜は互いに１２０°の角度をなし，中心に集まる４本の線は１０９．４７１°（マラルディの角）をなすのです．

　このように１２０°と１０９．４７１°は石鹸膜が接触するときの基本的な角度ですが，正三角形ではｃｏｓθ＝−１／２，正四面体ではｃｏｓθ＝−１／３の右辺に現れる分母２，３がそれぞれ平面の次元の２，空間の次元の３と一致することは偶然ではありません．ｎ次元のマラルディの角は

　　ｃｏｓθ＝−１／ｎ

で与えられるのです．

　また，ｎ＝３の場合，正四面体の頂点から中心に向かう３枚の膜は互いに１２０°の角度をなした．それでは正ｎ＋１胞体の頂点から中心に向かうｎ枚の膜（胞）が互いになす角度は？という問題を考えてみると，

　　ｃｏｓθ＝−１／（ｎ−１）

すなわち，ｎ＝３のときは１２０°，ｎ＝４のときは１０９．４７１°となることがわかる．

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