（その７）で新たにわかったことは，完全グラフＫ4（ｖ＝４，ｅ＝６）が３次元関節の下でも４次元関節の下でも，不足している辺数が０となることであった．

［１］１次元：ｖ−１−ｅ＝−３

［２］２次元：２ｖ−３−ｅ＝−１

［３］３次元：３ｖ−６−ｅ＝０

［４］４次元：４ｖ−１０−ｅ＝０

［５］５次元：５ｖ−１５−ｅ＝−１

［６］６次元：６ｖ−２１−ｅ＝−３

　このことは一般的に成り立つことなのだろうか？

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　完全グラフＫm

　　ｖ＝ｍ，ｅ＝ｍ（ｍ−１）／２

をｎ次元関節の下の幾何学的安定性条件

　　ｎｖ−ｎ（ｎ＋１）／２−ｅ

に代入する．

　　ｎｖ−ｎ（ｎ＋１）／２−ｅ

　＝ｎｍ−ｎ（ｎ＋１）／２−ｍ（ｍ−１）／２

　＝（２ｎｍ−ｎ^2−ｍ^2−ｎ＋ｍ）／２

　＝−（（ｎ−ｍ）^2＋（ｎ−ｍ））／２

　＝−（ｎ−ｍ）（ｎ−ｍ＋１）／２＝０

　　ｎ＝ｍ，ｎ＝ｍ−１

となって，一般的に成り立つことがわかる．

　完全グラフＫn：ｖ＝ｎ，ｅ＝ｎ（ｎ−３）／２＋ｎ＝ｎ（ｎ−１）／２

を，２次元

　　２ｖ−３−ｅ

に代入すると

　　２ｖ−３−ｅ＝２ｎ−３−ｎ（ｎ−１）／２

　＝−（ｎ^2−５ｎ＋６）／２＝−（ｎ−２）（ｎ−３）／２

ｎ≧３では，不足している辺数が負となり，常に剛性条件が満たされる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　この関係は，コラム「トーラス面上の正則平面グラフ」に掲げた「種数ｇ表面上の正則平面グラフ」・・・

　Ｋvが平面的であるならば，ｑ＝ｖ−１，ｅ＝ｖ（ｖ−１）／２．

　　ｆ＝２−２ｇ＋ｅ−ｖ＝２−２ｇ＋ｖ（ｖ−１）／２−ｖ

また，各面は少なくとも３つの辺をもたなければならないから，

　　３（２−２ｇ＋ｖ（ｖ−１）／２−ｖ）＝３ｆ≦２ｅ＝ｖ（ｖ−１）

　正則正則平面グラフであるためには

　　３（２−２ｇ＋ｖ（ｖ−１）／２−ｖ）＝ｖ（ｖ−１）

　　ｇ＝（ｖ−３）（ｖ−４）／１２

　この方程式には解が無数にあるが，

　　ｇ＝０　→　Ｋ4

　　ｇ＝１　→　Ｋ7

　　ｇ＝６　→　Ｋ12

の議論ともよく類似している．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝