■ハードマテリアルの構造学(その7)

 (その7)で新たにわかったことは,完全グラフK4(v=4,e=6)が3次元関節の下でも4次元関節の下でも,不足している辺数が0となることであった.

[1]1次元:v−1−e=−3

[2]2次元:2v−3−e=−1

[3]3次元:3v−6−e=0

[4]4次元:4v−10−e=0

[5]5次元:5v−15−e=−1

[6]6次元:6v−21−e=−3

 このことは一般的に成り立つことなのだろうか?

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 完全グラフKm

  v=m,e=m(m−1)/2

をn次元関節の下の幾何学的安定性条件

  nv−n(n+1)/2−e

に代入する.

  nv−n(n+1)/2−e

 =nm−n(n+1)/2−m(m−1)/2

 =(2nm−n^2−m^2−n+m)/2

 =−((n−m)^2+(n−m))/2

 =−(n−m)(n−m+1)/2=0

  n=m,n=m−1

となって,一般的に成り立つことがわかる.

 完全グラフKn:v=n,e=n(n−3)/2+n=n(n−1)/2

を,2次元

  2v−3−e

に代入すると

  2v−3−e=2n−3−n(n−1)/2

 =−(n^2−5n+6)/2=−(n−2)(n−3)/2

n≧3では,不足している辺数が負となり,常に剛性条件が満たされる.

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 この関係は,コラム「トーラス面上の正則平面グラフ」に掲げた「種数g表面上の正則平面グラフ」・・・

 Kvが平面的であるならば,q=v−1,e=v(v−1)/2.

  f=2−2g+e−v=2−2g+v(v−1)/2−v

また,各面は少なくとも3つの辺をもたなければならないから,

  3(2−2g+v(v−1)/2−v)=3f≦2e=v(v−1)

 正則正則平面グラフであるためには

  3(2−2g+v(v−1)/2−v)=v(v−1)

  g=(v−3)(v−4)/12

 この方程式には解が無数にあるが,

  g=0 → K4

  g=1 → K7

  g=6 → K12

の議論ともよく類似している.

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