ハードマテリアルの構築原理は

［１］２次元：ｅ＝２ｖ−３

［２］３次元：ｅ＝３ｖ−６

［３］ｎ次元：ｅ＝ｎｖ−ｎ（ｎ＋１）／２

で与えられる．

　ｎ＝１の場合，

［４］１次元：ｅ＝ｖ−１

となるが，木グラフの頂点と辺の関係は

　　ｅ＝ｖ−１

で与えられる．

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　それでは完全グラフＫnではどうだろうか？

　　ｖ＝ｎ，ｅ＝ｎ（ｎ−３）／２＋ｎ＝ｎ（ｎ−１）／２

　２次元において，

　　２ｖ−３−ｅ

に代入すると

　　２ｖ−３−ｅ＝２ｎ−３−ｎ（ｎ−１）／２

　＝−（ｎ^2−５ｎ＋６）／２＝−（ｎ−２）（ｎ−３）／２

ｎ≧３では，不足している辺数が負となり，常に剛性条件が満たされる．

　任意のｎ次元についても

　　ｎｖ−ｎ（ｎ＋１）／２−ｅ

に代入すると

　　ｎ^2−ｎ（ｎ＋１）／２−ｎ（ｎ−１）／２＝０

となって，常に剛性条件が満たされる．

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　完全二部グラフＫn,mではどうだろうか？

　　ｖ＝ｎ＋ｍ，ｅ＝ｎｍ

　したがって，不足している辺数は

　　２ｖ−３−ｅ＝２（ｎ＋ｍ）−３−ｎｍ＝１−（ｎ−２）（ｍ−２）

　ｎ＞２かつｍ＞２の完全二部グラフならば剛性は損なわれない．１×１でも同様．しかし，それ以外では剛性を保つことができない．

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