■ハードマテリアルの構造学(その2)

 3×3格子の場合の最少筋交い数は5である.6や7では多すぎ(冗長)だが,4では少なすぎ,すなわち筋交いを5から1カ所取り除くだけで構造物の剛性が損なわれてしまう.

 しかし,これは2次元的な関節の場合の話である.各関節が3次元的(ユニバーサルジョイント)の場合はどうなるのだろうか?

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[Q]ユニバーサルジョイントでつながれた,n×m格子のすべての格子に筋交いを1本ずついれると剛性は保たれるだろうか?

[A]3次元骨組みにおいて,v頂点を抑え込むのに必要な最少の棒材数は

  e=3v−6

である.

 n×m格子のすべてに筋交いを1本ずついれた場合の格子点数と辺数は

  v=(n+1)(m+1)

  e=n(m+1)+m(n+1)+nm

 したがって,不足している辺数は

  3v−6−e=2(n+m)−3

 1×1格子の場合であっても対角線に棒材を追加しなければならない.

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[Q]ユニバーサルジョイントでつながれた,n×m格子のすべての格子に筋交いを1本ずついれると剛性は保たれるだろうか?

 n×m格子のすべてに筋交いを1本ずついれた場合の格子点数と辺数は

  v=(n+1)(m+1)

  e=n(m+1)+m(n+1)+2nm

 したがって,不足している辺数は

  3v−6−e=2(n+m)−3−nm=1−(n−2)(m−2)

 n>2かつm>2の格子ならば剛性は損なわれない.1×1格子でも同様.しかし,それ以外では剛性を保つことができない.

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